Bonjour jeune homme ! il y a une erreur f(x)= -x²+2x+3 et non x² +2x + 3
1) Montrer que pour tout réel x; f(x)= 4-(x-1)² (forme C)
4-(x-1)²= 4-(x² - 2x+1)
= 4-x²+2x-1
= -x² + 2x+3 = f(x)
Donc f(x) =4-(x-1)²
2)Factoriser f(x) (Forme F)
f(x) =4-(x-1)²
=2²-(x-1)²
=( 2+(x-1))(2-(x-1))
= (2+x-1)(2-x+1)
= (x+1)(-x+3)
3) En choisissant judicieusement une forme de l'expression de la fonction f ;
a)Calculez l'image de 2 racine carrer de 3 par la fonction f
On utilise la forme D
f(2√3)=-(2√3)² +2×2√3 +3
= -4×3+2√3 +3
= -12+ 2√3 +3
= -9 +2√3
b) Déterminer le(s) antécédent(s) de 0 par la fonction f
On utilise la forme F
f(x)=0 ⇔ (x+1)(-x+3) = 0 ⇔ x+1= 0 ou -x+3=0
⇔ x=-1 ou x=3
-1 et 3 sont les antécédents de 0 par f
c) Résoudre l'équation f(x) = 3 Donner une interprétation du ou des solutions obtunues
On utilise la forme D
f(x) = 3 ⇔ -x²+2x+3=3 ⇔ -x²+2x = 0 ⇔ x(-x+2)=0 ⇔ x=0 ou -x+2 =0
⇔ x=0 ou x=2
interprétation : 0 et 2 sont les antécédents de 3 par la fonction f
d) Démontrez que pour tout réel x; f(x) < 4
pour tout réel x , (x-1)² ≥ 0 ⇔ -(x-1)²≤0 ⇔4-(x-1)²≤0+4⇔f(x)≤4
Conclusion : f admet un maximum sur R égal à 4 atteint pour x=1
Bon courage ! attention à bien écrire la consigne sans erreur !
