Bonsoir,
1)
Le volume d'une sphère est [tex] V_{sphere} = \frac{4\pi r^3}{3} [/tex]
Le volume d'un cylindre est [tex]V_{cylindre} = \pi r^2h[/tex]
Archimède prétendait que la sphère occupait les 2/3 du volume du cylindre. Calculons 2/3 * Vcylindre :
[tex] \frac{2}{3} * \pi r^2h= \frac{2\pi r^2*2r}{3} = \frac{4\pi r^3}{3} [/tex]
Le volume de la sphère correspond au 2/3 du volume du cylindre, Archimède avait donc raison.
2)
Le volume d'un cône est [tex]V_{cone} = \frac{\pi r^2h}{3} [/tex]
Le schéma nous dit que la hauteur d'un cône vaut r. et leur diamètre est égal à celui du cylindre. Il y a deux cône, donc le volume des deux cône (du sablier) à l'intérieur du cylindre est :
[tex]2* \frac{\pi r^2h}{3} = \frac{2\pi r^2*2r}{3} = \frac{2\pi r^3}{3} [/tex]
On rappel que le volume du cylindre est [tex]\pi r^2h=2\pi r^3[/tex]
Le sablier occupe donc 1/3 du cylindre.
