Bonjour Igore
[tex]1a)\ f(x)=e^{-x}(\cos x+\sin x)\\\\f(x)=\dfrac{2}{2}\times e^{-x}(\cos x+\sin x)\\\\f(x)=\dfrac{\sqrt{2}\sqrt{2}}{2}\times e^{-x}(\cos x+\sin x)\\\\f(x)=\sqrt{2}\times e^{-x}(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin x)\\\\f(x)=\sqrt{2}\times e^{-x}(\sin\dfrac{\pi}{4}\cos x+\cos\dfrac{\pi}{4}\sin x)\\\\\boxed{f(x)=\sqrt{2}\times e^{-x}\sin(x+\dfrac{\pi}{4})}[/tex]
[tex]b)\ f(x)=0\\\\\sqrt{2}\times e^{-x}\sin(x+\dfrac{\pi}{4})}=0\\\\Or\ \sqrt{2}\times e^{-x}\neq0\\\\Donc\ \sin(x+\dfrac{\pi}{4})}=0\\\\x+\dfrac{\pi}{4}=k\pi\ \ (k\in\mathbb{Z})\\\\\boxed{x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\ \ (k\in\mathbb{Z})}[/tex]
[tex]2)\ \left\{\begin{matrix}-1\le\sin(x+\dfrac{\pi}{4})\le1\\\sqrt{2}\times e^{-x}\ \textgreater \ 0 \end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow-\sqrt{2}\times e^{-x}\le\sqrt{2}\times e^{-x}\sin(x+\dfrac{\pi}{4})\le\sqrt{2}\times e^{-x}.\\\\-\sqrt{2}\times e^{-x}\le f(x)\le\sqrt{2}\times e^{-x}\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}-\sqrt{2}\times e^{-x}\le \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\le\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{2}\times e^{-x}\\\\0\le \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\le0\\\\\boxed{ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0}[/tex]
D'où la droite d'équation x=0 est asymptote à C
Par conséquent, l'axe des abscisses est asymptote à C.
[tex]3a)\ f'(x)=[e^{-x}(\cos x+\sin x)]'\\\\f'(x)=(e^{-x})'\times(\cos x+\sin x)+e^{-x}\times(\cos x+\sin x)'\\\\f'(x)=-e^{-x}\times(\cos x+\sin x)+e^{-x}\times(-\sin x+\cos x)'\\\\f'(x)=-e^{-x}\cos x-e^{-x}\sin x-e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x\\\\\boxed{f'(x)=-2e^{-x}\sin x}[/tex]
[tex]b)\ f'(x)=0\\-2e^{-x}\sin x=0\\\sin x=0\\\\\boxed{x=k\pi\ \ (k\in\mathbb{Z})}[/tex]
[tex]4a)\ \begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\dfrac{\pi}{4}&&0&&\pi&&\dfrac{7\pi}{4} \\ -2e^{-x}&&-&-&-&-&-&\\\sin x&&-&0&+&0&-&\\f'(x)&&+&0&-&0&+&\\f(x)&0&\nearrow&1&\searrow&-e^{-\pi}&\nearrow&0\\ \end{array}[/tex]
b) graphique en pièce jointe.
5)a) La fonction g est une primitive de la fonction f si g'(x) = f(x).
[tex]g'(x)=[e^{-x}(a\cos x+b\sin x)]'\\g'(x)=(e^{-x})'\times(a\cos x+b\sin x)+e^{-x}\times(a\cos x+b\sin x)'\\g'(x)=-e^{-x}\times(a\cos x+b\sin x)+e^{-x}\times(-a\sin x+b\cos x)'\\g'(x)=-e^{-x}\times a\cos x-e^{-x}\times b\sin x-e^{-x}\times a\sin x+e^{-x}\times b\cos x\\g'(x)=e^{-x}\times [(-a+b)\cos x+(-a-b)\sin x]\\\\g'(x)=f(x)\Longleftrightarrow\left\{\begin{matrix}-a+b=1\\-a-b=1 \end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\{\begin{matrix}-a+b=-a-b\\-a-b=1 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow\left\{\begin{matrix}2b=0\\-a-b=1 \end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\{\begin{matrix}b=0\\-a-b=1 \end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\boxed{\left\{\begin{matrix}b=0\\a=-1 \end{matrix}\right.}[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{g(x)=-e^{-x}\cos x}[/tex]
b) Voir pièce jointe.
[tex]A=[g(x)]\limits_0^\frac{\pi}{2}\\\\A=[-e^{-x}\cos x]\limits_0^\frac{\pi}{2}\\\\A=(-e^{-\frac{\pi}{2}}\cos \frac{\pi}{2})-(-e^{0}\cos 0)\\\\A=(-e^{-\frac{\pi}{2}}\times0)-(-1\times1)\\\\A=0-(-1)\\\\\boxed{A=1\ u^2}[/tex]
Or l'unité en abscisses mesure 2,5 cm et l'unité en ordonnées mesure 10 cm.
Par conséquent, A = 25 cm²
