BH est la hauteur issue de B du triangle ABC, donc BH est perpendiculaire à AC donc les triangles ABH et BHC sont rectangles en H.
Ecrivons le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ABH :
|AB|² = |AH|² + |BH|² (1)
Ecrivons le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle BHC :
|BC|² = |HC|² + |BH|² (2)
Additions (1) et (2) membres à membres, il vient :
|AB|² + |BC|² = |AH|² + |HC|² + 2.|BH|² (3)
Ecrivons le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ABC :
|AC|² = |AB|² + |BC|² (4)
En remplaçant (4) dans (3), il vient :
|AC|² = |AH|² + |HC|² + 2.|BH|² (5)
Or, |AC| = |AH| + |HC|, donc, (5) devient :
(|AH| + |HC|)² = |AH|² + |HC|² + 2.|BH|²
Effectuons la parenthèse, on a :
|AH|² + 2.|AH|.|HC| + |HC|² = |AH|² + |HC|² + 2.|BH|²
Soustrayons aux 2 membres |AH|² + |HC|², il vient :
2.|AH|.|HC| = 2.|BH|²
Divisions les 2 membres par 2, il vient :
|AH|.|HC| = |BH|²
cqfd
