Bonjour,
Exprimons le problème en inéquation :
Aire(BMN) ≥ Aire(ABC) / 4 (1)
L'aire d'un triangle rectangle vaut : A = b.h / 2
Donc, on a : Aire(ABC) = 5.10 / 2 = 25 cm² (2)
Et, Aire(BMN) = x.|MN| / 2 (3)
Nous pouvons affirmer que les triangles ABC et MBN sont semblables.
En effet :
- B est un angle commun
- les angles A et M ont la même amplitude de 90° par hypothèse
Il s'agit du cas de similitude Angle-Angle
Nous pouvons donc écrire la relation de proportionnalité des côtés homologues :
|AB| / |MB| = |AC| / |MN| = |BC| / |BN| = k
En prenant l'égalité suivante :
|AB| / |MB| = |AC| / |MN|
Il vient :
|AB| . |MN| = |AC| . |MB| (le produit des moyens est égal
au produit des extrêmes)
et donc, |MN| = |AC| . |MB| / |AB| (en divisant les 2 membres par |AB|)
|MN| = 10 . x / 5
|MN| = 2x (4)
En remplaçant (4) dans (3), il vient : Aire(BMN) = x . 2x / 2
Aire(BMN) = x² (5)
En remplaçant (2) et (5) dans (1), il vient :
x² ≥ 25/4
Et donc, x² - 25/4 ≥ 0 (en soustrayant 25/4 aux 2 membres)
Finalement,
(x - 5/2).(x + 5/2) ≥ 0 (en factorisant le 1er membre)
Etude du signe du 1er membre de l'inéquation :
x -5/2 5/2
x² - 25/4 + 0 - 0 +
Donc, les solutions de l'inéquation sont = x € ]-infini;-5/2] U [5/2;+infini[
Or, x représente la longueur du côté d'un triangle donc, x doit être positif. Finalement, l'aire du triangle BMN est supérieur ou égale au quart de l'aire du triangle ABC si x ≥ 5/2.
