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résolu

Bonjour pouvez vous m'aidez svp , merci au personne qui m'aideront!!

La légende du jeu d'échecs
<< Il y a longtemps, vivait aux indes, un riches roi qui s'ennuyait. Il promit de fortement récompenser celui qui parviendrait à le distraire. Un jour, un brahmane se présente au palais avec un nouveau jeu : le jeu d'échecs. Passionné par ce jeu, le roi déclara qu'il accordait au brahmane tout ce que ce dernier voudrait en guise de récompense. Celui- ci demanda simplement un grain de blé sur la première case de l'échiquier , deux grains , deux grains sur la seconde case, quatre grains sur la troisième et ainsi de suite en doublant le nombre de grains à chaque fois jusqu'à la 64e et dernière case de l'échiquier.>>
1) Exprimer, à l'aide d'une puissance de 2, le nombre de grains que le roi doit mettre sur chacune des quatre premières cases.
2) Exprimer à l'aide d'une puissance de 2 le nombre de grains sur la dernière case de l'échiquier.
3) Calculer le nombre de grains total sur les deux premières cases, puis sur les trois premières cases, puis sur les quatre premières cases, et enfin sur les dix premières. Détailler vos calculs.
4) Que pensez-vous du nombre total de grains sur l'échiquier ?


Répondre :

1/ Dans le cas de la première case, on trouve : [tex]2^0=1[/tex] grain.
Pour la deuxième : [tex]2^1=2[/tex] grains.
Pour la troisième : [tex]2^2=4[/tex] grains.
Pour la quatrième : [tex]2^3=8[/tex] grains.

2/ Sur la dernière case de l'échiquier qui compte soixante-quatre cases, on trouve donc : [tex]2^{63}[/tex] grains.

3/ Sur les deux premières cases, on a [tex]2^0+2^1=1+2=3[/tex] grains.
Sur les trois premières cases, on trouve [tex]2^0+2^1+2^2=1+2+4=7[/tex] grains.
Sur les quatre premières cases, on trouve [tex]2^0+2^1+2^2+2^3=1+2+4+8=15[/tex] grains.
Sur les dix premières cases, on trouve enfin [tex]2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7+2^8+2^9[/tex] grains, soit encore :

[tex]1+2+4+8+16+32+64+128+256+512=1023[/tex] grains.

4/ Le nombre de grains total sur l'échiquier sera tel que le roi finira ruiné !
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