Bonjour,
tu peux voir ce jeu de la manière suivante.
Plutôt que de lancer les dés simultanément, on peut les lancer l'un après l'autre, ça ne change rien.
Les trois lancers sont indépendants.
Si on considère un lancer. On peut le voir comme une expérience de Bernoulli.
Deux issues
Succès: on tire 4 avec P(succès) = 1/6 (dé équilibré)
Echec : on tire autre chose. P(échec) = 5/6.
Si on appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre de 4 au bout des trois lancers, alors tu dois avoir dans ton cours que X suit une loi binomiale de paramètres 3 (nombre de lancers) et 1/6 (probabilité de succès)
On a donc
[tex]P(X=0) = \bbig \left ( {{3} \atop {0}} \bbig \right ) \times (\frac{1}{6}) ^0 \times (\frac{5}{6})^3 = \frac{125}{216}\\
P(X = 1) = \bbig \left ( {{3} \atop {1}} \bbig \right ) \times (\frac{1}{6}) ^1 \times (\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{72}\\
P(X = 2) = \bbig \left ( {{3} \atop {2}} \bbig \right ) \times (\frac{1}{6}) ^2 \times (\frac{5}{6})^6 = \frac{5}{72}\\
P(X = 3) = \bbig \left ( {{3} \atop {3}} \bbig \right ) \times (\frac{1}{6}) ^3 \times (\frac{5}{6})^0 = \frac{1}{216}\\[/tex]
Si maintenant on appelle Y la variable qui donne le gain. Les valeurs possibles pour Y sont
-1 si X = 0
1 si X = 1
2 si X = 2
3 si X = 3
L'espérance de gain (l'espérance de la variable aléatoire Y) se calcule donc:
[tex]E(Y) = -1* P(X = 0) + 1*P(X = 1) + 2* P(X = 2) + 3* P(X = 3)\\
[/tex]
[tex]E(Y) = -\frac{125}{216} + \frac{25}{72} + \frac{10}{72} + \frac{3}{216} = -\frac{17}{216}[/tex]
L'espérance de gain est négative (et donc non nulle), le jeu n'est pas équitable (espérance de gain nulle).
