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Exercice 1:
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse x est f'(x). Par exemple, si tu cherches la tangente au point d'abscisse 3:
f'(x)=2x-4 donc f'(3)=6-4=2. Donc l'équation de la tangente au point d'abscisse 3 est de la forme y=2x+b
Tu cherches une tangente parallèle à la droite y=2x+3, donc une tangente qui aurait le même coefficient directeur: 2.
Tu cherches donc tous les points x tels que f'(x)=2. (oops, j'en ai trouvé un par hasard. vérifie s'il n'y en a pas d'autres. Comme f est une fonction du second degré, il y a de fortes chances qu'il y ait deux solutions).
Exercice 3:
1)Tu cherches le point d'intersection de deux courbes, donc un point A (xa, ya) qui appartienne à chacune des deux courbes.
il appartient à la première donc répond à son équation: ya=xa²
il appartient à la deuxième donc répond à son équation: ya=-1/3 xa² +1
Il faut donc résoudre xa²= -1/3 xa² +1 pour trouver l'abscisse de ton point, puis appliquer l'une ou l'autre des fonctions pour trouver son ordonnée. (Cette équation a deux solutions, l'une d'elle est pour le point A et l'autre pour le point B...)
2) Houlà, ici c'est plus compliqué.
D'abord, il faut déterminer l'équation de la tangente. La tangente est une droite, donc son équation est de la forme y=ax+b. Tu sais déjà que pour trouver le coefficient directeur "a" il suffit de faire f'(xa) (xa étant l'abscisse du point A que tu as dû trouver à la question précédente).
Pour trouver le point B, il faut remplacer le x et y de l'équation par xa et ya (car le point A est sur la tangente, donc il répond à son équation).
tu te retrouves avec un truc de la forme ya=f'(xa)*xa +b
faire pareil avec la seconde fonction (vu que A est le point d'intersection des deux).
Ensuite, comme l'indique l'indice, il faut prendre un point sur chaque tangente: tu choisis un nombre x, au pif (assez proche de xa je pense que ce sera plus simple) et tu calcule y grâce à l'équation de la tangente; tu as ainsi les coordonnées d'un point de la tangente.
Enfin, tu te retrouves avec 3 point: le point A, un point K sur la première tangente, un point L sur la troisième; il te reste à calculer les distance AK, KL et AL et vérifier si le triangle ALK est rectangle grâce que théorème de Pythagore.
Pour rappel, le calcul d'une distance à partir des coordonnées se fait avec la formule: [tex]AK= \sqrt{(xk-xa)^{2}+(yk-ya)^{2}} [/tex]
La question 3 te demande de faire exactement pareil que la deux mais avec le point B.
Calculs:
1) [tex]x^{2}=\frac{-1}{3} x^{2}+1[/tex]
[tex]x^{2}+\frac{1}{3} x^{2}=1[/tex]
[tex]\frac{4}{3} x^{2}=1[/tex]
[tex]x^{2}=\frac{3}{4}[/tex]
Les solutions de l'équation sont donc [tex]xa=\frac{-\sqrt{3}}{2} [/tex] et [tex]xb=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
Les points A et B sont sur la courbe de f1 donc ya=xa² et yb=xb².
Les coordonnées des points A et B sont donc:
[tex]xa=\frac{-\sqrt{3}}{2}[/tex] , [tex]ya=-\frac{3}{4}[/tex] et [tex]xb=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex], [tex]yb=\frac{3}{4}[/tex]
2)Tangente à f1 au point A: f'(x)=2x
[tex]f'(xa)=f'(\frac{-\sqrt{3}}{2})=2 \times \frac{-\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}[/tex]
équation de la tangente: [tex]y=-\sqrt{3} \times x +b[/tex]
Calcul de b:
[tex]ya=-\sqrt{3} \times xa +b[/tex] donc [tex]\frac{3}{4}=-\sqrt{3} \times \frac{-\sqrt{3}}{2} +b[/tex]
[tex]b=\frac{3}{4}-\frac{3}{2}=- \frac{3}{4}[/tex]
Équation finale de la tangente de f1 en A: [tex]y=-\sqrt{3} \times x - \frac{3}{4}[/tex]
Équation de la tangente de f2 en A: f'(x)=-2/3
[tex]f'(xa)=f'(\frac{-\sqrt{3}}{2})=\frac{-2}{3} \times \frac{-\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex]
équation de la tangente: [tex]y=\frac{1}{\sqrt{3}} \times x +b[/tex]
Calcul de b:
[tex]ya=\frac{1}{\sqrt{3}} \times xa +b[/tex] donc [tex]\frac{3}{4}=\frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{-\sqrt{3}}{2} +b[/tex]
[tex]b=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5}{4}[/tex]
Équation finale de la tangente de f2 en A: [tex]y=\frac{1}{\sqrt{3}} \times x + \frac{5}{4}[/tex]
Point appartenant à la tangente de f1 en A (notée T1):
x=1, [tex]y=-\sqrt{3} \times 1 - \frac{3}{4}=\frac{-4 \sqrt{3}-3}{4}[/tex]
c'est moche, hein? Tu peux avoir un y plus simple si tu prends un autre x, par exemple [tex]x=-\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex] te donnes [tex]y=-\sqrt{3} \times \frac{-\sqrt{3}}{4} - \frac{3}{4}=0[/tex]
Tu choisis un couple (x; y) comme coordonnées de ton point K(que tu appelles comme tu veux, d'ailleurs)
Bon, je commence à être fatiguée. Les calculs sont pas si chiants à faire, mais à taper en Latex j'en ai marre, donc j'espère que tu vois le principe ^^
il te reste à utiliser l'équation de l'autre tangente pour trouver un point Lsur cette tangente, puis calculer AL, AK, LK et faire la réciproque de Pythagore...puis tout pareil avec B.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse x est f'(x). Par exemple, si tu cherches la tangente au point d'abscisse 3:
f'(x)=2x-4 donc f'(3)=6-4=2. Donc l'équation de la tangente au point d'abscisse 3 est de la forme y=2x+b
Tu cherches une tangente parallèle à la droite y=2x+3, donc une tangente qui aurait le même coefficient directeur: 2.
Tu cherches donc tous les points x tels que f'(x)=2. (oops, j'en ai trouvé un par hasard. vérifie s'il n'y en a pas d'autres. Comme f est une fonction du second degré, il y a de fortes chances qu'il y ait deux solutions).
Exercice 3:
1)Tu cherches le point d'intersection de deux courbes, donc un point A (xa, ya) qui appartienne à chacune des deux courbes.
il appartient à la première donc répond à son équation: ya=xa²
il appartient à la deuxième donc répond à son équation: ya=-1/3 xa² +1
Il faut donc résoudre xa²= -1/3 xa² +1 pour trouver l'abscisse de ton point, puis appliquer l'une ou l'autre des fonctions pour trouver son ordonnée. (Cette équation a deux solutions, l'une d'elle est pour le point A et l'autre pour le point B...)
2) Houlà, ici c'est plus compliqué.
D'abord, il faut déterminer l'équation de la tangente. La tangente est une droite, donc son équation est de la forme y=ax+b. Tu sais déjà que pour trouver le coefficient directeur "a" il suffit de faire f'(xa) (xa étant l'abscisse du point A que tu as dû trouver à la question précédente).
Pour trouver le point B, il faut remplacer le x et y de l'équation par xa et ya (car le point A est sur la tangente, donc il répond à son équation).
tu te retrouves avec un truc de la forme ya=f'(xa)*xa +b
faire pareil avec la seconde fonction (vu que A est le point d'intersection des deux).
Ensuite, comme l'indique l'indice, il faut prendre un point sur chaque tangente: tu choisis un nombre x, au pif (assez proche de xa je pense que ce sera plus simple) et tu calcule y grâce à l'équation de la tangente; tu as ainsi les coordonnées d'un point de la tangente.
Enfin, tu te retrouves avec 3 point: le point A, un point K sur la première tangente, un point L sur la troisième; il te reste à calculer les distance AK, KL et AL et vérifier si le triangle ALK est rectangle grâce que théorème de Pythagore.
Pour rappel, le calcul d'une distance à partir des coordonnées se fait avec la formule: [tex]AK= \sqrt{(xk-xa)^{2}+(yk-ya)^{2}} [/tex]
La question 3 te demande de faire exactement pareil que la deux mais avec le point B.
Calculs:
1) [tex]x^{2}=\frac{-1}{3} x^{2}+1[/tex]
[tex]x^{2}+\frac{1}{3} x^{2}=1[/tex]
[tex]\frac{4}{3} x^{2}=1[/tex]
[tex]x^{2}=\frac{3}{4}[/tex]
Les solutions de l'équation sont donc [tex]xa=\frac{-\sqrt{3}}{2} [/tex] et [tex]xb=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
Les points A et B sont sur la courbe de f1 donc ya=xa² et yb=xb².
Les coordonnées des points A et B sont donc:
[tex]xa=\frac{-\sqrt{3}}{2}[/tex] , [tex]ya=-\frac{3}{4}[/tex] et [tex]xb=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex], [tex]yb=\frac{3}{4}[/tex]
2)Tangente à f1 au point A: f'(x)=2x
[tex]f'(xa)=f'(\frac{-\sqrt{3}}{2})=2 \times \frac{-\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}[/tex]
équation de la tangente: [tex]y=-\sqrt{3} \times x +b[/tex]
Calcul de b:
[tex]ya=-\sqrt{3} \times xa +b[/tex] donc [tex]\frac{3}{4}=-\sqrt{3} \times \frac{-\sqrt{3}}{2} +b[/tex]
[tex]b=\frac{3}{4}-\frac{3}{2}=- \frac{3}{4}[/tex]
Équation finale de la tangente de f1 en A: [tex]y=-\sqrt{3} \times x - \frac{3}{4}[/tex]
Équation de la tangente de f2 en A: f'(x)=-2/3
[tex]f'(xa)=f'(\frac{-\sqrt{3}}{2})=\frac{-2}{3} \times \frac{-\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex]
équation de la tangente: [tex]y=\frac{1}{\sqrt{3}} \times x +b[/tex]
Calcul de b:
[tex]ya=\frac{1}{\sqrt{3}} \times xa +b[/tex] donc [tex]\frac{3}{4}=\frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{-\sqrt{3}}{2} +b[/tex]
[tex]b=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5}{4}[/tex]
Équation finale de la tangente de f2 en A: [tex]y=\frac{1}{\sqrt{3}} \times x + \frac{5}{4}[/tex]
Point appartenant à la tangente de f1 en A (notée T1):
x=1, [tex]y=-\sqrt{3} \times 1 - \frac{3}{4}=\frac{-4 \sqrt{3}-3}{4}[/tex]
c'est moche, hein? Tu peux avoir un y plus simple si tu prends un autre x, par exemple [tex]x=-\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex] te donnes [tex]y=-\sqrt{3} \times \frac{-\sqrt{3}}{4} - \frac{3}{4}=0[/tex]
Tu choisis un couple (x; y) comme coordonnées de ton point K(que tu appelles comme tu veux, d'ailleurs)
Bon, je commence à être fatiguée. Les calculs sont pas si chiants à faire, mais à taper en Latex j'en ai marre, donc j'espère que tu vois le principe ^^
il te reste à utiliser l'équation de l'autre tangente pour trouver un point Lsur cette tangente, puis calculer AL, AK, LK et faire la réciproque de Pythagore...puis tout pareil avec B.
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