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Bonjour Laura222
a) Figure en pièce jointe.
b) Coordonnées des points A, B et C.
b1) Coordonnées du point A commun aux droites d1 et d3
résoudre le système :
[tex]\left\{\begin{matrix}y = x+2\\y=-4x+5 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x+2=-4x+5\\y=x+2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x+4x=5-2\\y=x+2 \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}5x=3\\y=x+2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x=\dfrac{3}{5}\\\\y=x+2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x=\dfrac{3}{5}\\\\y=\dfrac{3}{5}+2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x=\dfrac{3}{5}=0,6\\\\y=\dfrac{13}{5}=2,6 \end{matrix}\right.[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point A sont (3/5 ; 13/5) ou encore (0,6 ; 2,6).
b2) Coordonnées du point B commun aux droites d1 et d2
résoudre le système :
[tex]\left\{\begin{matrix}y = x+2\\y=-\dfrac{2}{3}x-1 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x+2=-\dfrac{2}{3}x-1\\y=x+2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x+\dfrac{2}{3}x=-1-2\\y=x+2 \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}\dfrac{5}{3}x=-3\\y=x+2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x=-\dfrac{9}{5}\\\\y=x+2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x=-\dfrac{9}{5}(=-1,8)\\\\y=-\dfrac{9}{5}+2=\dfrac{1}{5}(=0,2) \end{matrix}\right.[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point B sont (-9/5 ; 1/5) ou encore (-1,8 ; 0,2).
b3) Coordonnées du point C commun aux droites d2 et d3
résoudre le système :
[tex]\left\{\begin{matrix}y=-\dfrac{2}{3}x-1\\y=-4x+5 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}-\dfrac{2}{3}x-1=-4x+5\\y=-4x+5 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}-\dfrac{2}{3}x+4x=5+1\\y=-4x+5 \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}\dfrac{10}{3}x=6\\y=-4x+5 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x=\dfrac{18}{10}\\\\y=-4x+5 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x=\dfrac{9}{5}(=1,8)\\\\y=-\dfrac{36}{5}+5=-\dfrac{11}{5}(=-2,2) \end{matrix}\right.[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point C sont (9/5 ; -11/5) ou encore (1,8 ; 2,2).
b4) Coordonnées de M.
[tex](x_M;y_M)=(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2})\\\\(x_M;y_M)=(\dfrac{0,6-1,8}{2};\dfrac{2,6+0,2}{2})\\\\(x_M;y_M)=(\dfrac{1,2}{2};\dfrac{2,8}{2})\\\\\boxed{(x_M;y_M)=(0,6\ ;1,4)}[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point M sont (0,6 ; 1,4)
b5) Coordonnées du point N.
[tex](x_N;y_N)=(\dfrac{x_B+x_C}{2};\dfrac{y_B+y_C}{2})\\\\(x_N;y_N)=(\dfrac{-1,8+1,8}{2};\dfrac{0,2-2,2}{2})\\\\(x_N;y_N)=(\dfrac{0}{2};\dfrac{-2}{2})\\\\\boxed{(x_N;y_N)=(0\ ;-1)}[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point N sont (0 ; -1).
b6) Coordonnées du point P.
[tex](x_P;y_P)=(\dfrac{x_A+x_C}{2};\dfrac{y_A+y_C}{2})\\\\(x_P;y_P)=(\dfrac{0,6+1,8}{2};\dfrac{2,6-2,2}{2})\\\\(x_P;y_P)=(\dfrac{2,4}{2};\dfrac{0,4}{2})\\\\\boxed{(x_P;y_P)=(1,2\ ;0,2)}[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point P sont (1,2 : 0,2).
c) Les centre de gravité G est le point commun aux trois médianes (AN), (BP) et (CM) et donc, en particulier, le point commun aux deux médianes (AN) et (BP)
Equation de (AN) : y = 6x - 1
Equation de (BP) : y = 0,2
Les coordonnées du point G sont les solutions du système :
[tex]\left\{\begin{matrix}y=6x-1\\y=0,2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}6x-1=0,2\\y=0,2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}6x=1,2\\y=0,2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x=0,2\\y=0,2 \end{matrix}\right.[/tex]
Par conséquent les coordonnées du centre de gravité G sont (0,2 : 0,2).
[tex]d)\ \dfrac{BG}{BP}=\dfrac{\sqrt{(0,2+1,8)^2+(0,2-0,2)^2}}{\sqrt{(1,2+1,8)^2+(0,2-0,2)^2}}\\\\\dfrac{BG}{BP}=\dfrac{\sqrt{2^2+0^2}}{\sqrt{3^2+0^2}}\\\\\dfrac{BG}{BP}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}\\\\\boxed{\dfrac{BG}{BP}=\dfrac{2}{3}}[/tex]
[tex]\dfrac{AG}{AN}=\dfrac{\sqrt{(0,2-0,6)^2+(0,2-2,6)^2}}{\sqrt{(0-0,6)^2+(-1-2,6)^2}}\\\\\dfrac{AG}{AN}=\dfrac{\sqrt{(-0,4)^2+(-2,4)^2}}{\sqrt{(-0,6)^2+(-3,6)^2}}\\\\\dfrac{AG}{AN}=\dfrac{\sqrt{0,16+5,76}}{\sqrt{0,36+12,96}}\\\\\dfrac{AG}{AN}=\dfrac{\sqrt{5,92}}{\sqrt{13,32}}=\dfrac{\sqrt{4\times1,48}}{\sqrt{9\times1,48}}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}\\\\\boxed{\dfrac{AG}{AN}=\dfrac{2}{3}}[/tex]
[tex]\dfrac{CG}{CM}=\dfrac{\sqrt{(0,2-1,8)^2+(0,2+2,2)^2}}{\sqrt{(-0,6-1,8)^2+(1,4+2,2)^2}}\\\\\dfrac{CG}{CM}=\dfrac{\sqrt{(-1,6)^2+2,4^2}}{\sqrt{(-2,4)^2+3,6^2}}\\\\\dfrac{CG}{CM}=\dfrac{\sqrt{2,56+5,76}}{\sqrt{5,76+12,96}}\\\\\dfrac{CG}{CM}=\dfrac{\sqrt{8,32}}{\sqrt{18,72}}=\dfrac{\sqrt{4\times2,08}}{\sqrt{9\times2,08}}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}\\\\\boxed{\dfrac{CG}{CM}=\dfrac{2}{3}}[/tex]
Nous retrouvons ainsi la propriété connue :
dans tout triangle, le centre de gravité est situé au 2/3 de la médiane en partant du sommet.
a) Figure en pièce jointe.
b) Coordonnées des points A, B et C.
b1) Coordonnées du point A commun aux droites d1 et d3
résoudre le système :
[tex]\left\{\begin{matrix}y = x+2\\y=-4x+5 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x+2=-4x+5\\y=x+2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x+4x=5-2\\y=x+2 \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}5x=3\\y=x+2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x=\dfrac{3}{5}\\\\y=x+2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x=\dfrac{3}{5}\\\\y=\dfrac{3}{5}+2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x=\dfrac{3}{5}=0,6\\\\y=\dfrac{13}{5}=2,6 \end{matrix}\right.[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point A sont (3/5 ; 13/5) ou encore (0,6 ; 2,6).
b2) Coordonnées du point B commun aux droites d1 et d2
résoudre le système :
[tex]\left\{\begin{matrix}y = x+2\\y=-\dfrac{2}{3}x-1 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x+2=-\dfrac{2}{3}x-1\\y=x+2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x+\dfrac{2}{3}x=-1-2\\y=x+2 \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}\dfrac{5}{3}x=-3\\y=x+2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x=-\dfrac{9}{5}\\\\y=x+2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x=-\dfrac{9}{5}(=-1,8)\\\\y=-\dfrac{9}{5}+2=\dfrac{1}{5}(=0,2) \end{matrix}\right.[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point B sont (-9/5 ; 1/5) ou encore (-1,8 ; 0,2).
b3) Coordonnées du point C commun aux droites d2 et d3
résoudre le système :
[tex]\left\{\begin{matrix}y=-\dfrac{2}{3}x-1\\y=-4x+5 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}-\dfrac{2}{3}x-1=-4x+5\\y=-4x+5 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}-\dfrac{2}{3}x+4x=5+1\\y=-4x+5 \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}\dfrac{10}{3}x=6\\y=-4x+5 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x=\dfrac{18}{10}\\\\y=-4x+5 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x=\dfrac{9}{5}(=1,8)\\\\y=-\dfrac{36}{5}+5=-\dfrac{11}{5}(=-2,2) \end{matrix}\right.[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point C sont (9/5 ; -11/5) ou encore (1,8 ; 2,2).
b4) Coordonnées de M.
[tex](x_M;y_M)=(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2})\\\\(x_M;y_M)=(\dfrac{0,6-1,8}{2};\dfrac{2,6+0,2}{2})\\\\(x_M;y_M)=(\dfrac{1,2}{2};\dfrac{2,8}{2})\\\\\boxed{(x_M;y_M)=(0,6\ ;1,4)}[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point M sont (0,6 ; 1,4)
b5) Coordonnées du point N.
[tex](x_N;y_N)=(\dfrac{x_B+x_C}{2};\dfrac{y_B+y_C}{2})\\\\(x_N;y_N)=(\dfrac{-1,8+1,8}{2};\dfrac{0,2-2,2}{2})\\\\(x_N;y_N)=(\dfrac{0}{2};\dfrac{-2}{2})\\\\\boxed{(x_N;y_N)=(0\ ;-1)}[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point N sont (0 ; -1).
b6) Coordonnées du point P.
[tex](x_P;y_P)=(\dfrac{x_A+x_C}{2};\dfrac{y_A+y_C}{2})\\\\(x_P;y_P)=(\dfrac{0,6+1,8}{2};\dfrac{2,6-2,2}{2})\\\\(x_P;y_P)=(\dfrac{2,4}{2};\dfrac{0,4}{2})\\\\\boxed{(x_P;y_P)=(1,2\ ;0,2)}[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point P sont (1,2 : 0,2).
c) Les centre de gravité G est le point commun aux trois médianes (AN), (BP) et (CM) et donc, en particulier, le point commun aux deux médianes (AN) et (BP)
Equation de (AN) : y = 6x - 1
Equation de (BP) : y = 0,2
Les coordonnées du point G sont les solutions du système :
[tex]\left\{\begin{matrix}y=6x-1\\y=0,2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}6x-1=0,2\\y=0,2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}6x=1,2\\y=0,2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x=0,2\\y=0,2 \end{matrix}\right.[/tex]
Par conséquent les coordonnées du centre de gravité G sont (0,2 : 0,2).
[tex]d)\ \dfrac{BG}{BP}=\dfrac{\sqrt{(0,2+1,8)^2+(0,2-0,2)^2}}{\sqrt{(1,2+1,8)^2+(0,2-0,2)^2}}\\\\\dfrac{BG}{BP}=\dfrac{\sqrt{2^2+0^2}}{\sqrt{3^2+0^2}}\\\\\dfrac{BG}{BP}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}\\\\\boxed{\dfrac{BG}{BP}=\dfrac{2}{3}}[/tex]
[tex]\dfrac{AG}{AN}=\dfrac{\sqrt{(0,2-0,6)^2+(0,2-2,6)^2}}{\sqrt{(0-0,6)^2+(-1-2,6)^2}}\\\\\dfrac{AG}{AN}=\dfrac{\sqrt{(-0,4)^2+(-2,4)^2}}{\sqrt{(-0,6)^2+(-3,6)^2}}\\\\\dfrac{AG}{AN}=\dfrac{\sqrt{0,16+5,76}}{\sqrt{0,36+12,96}}\\\\\dfrac{AG}{AN}=\dfrac{\sqrt{5,92}}{\sqrt{13,32}}=\dfrac{\sqrt{4\times1,48}}{\sqrt{9\times1,48}}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}\\\\\boxed{\dfrac{AG}{AN}=\dfrac{2}{3}}[/tex]
[tex]\dfrac{CG}{CM}=\dfrac{\sqrt{(0,2-1,8)^2+(0,2+2,2)^2}}{\sqrt{(-0,6-1,8)^2+(1,4+2,2)^2}}\\\\\dfrac{CG}{CM}=\dfrac{\sqrt{(-1,6)^2+2,4^2}}{\sqrt{(-2,4)^2+3,6^2}}\\\\\dfrac{CG}{CM}=\dfrac{\sqrt{2,56+5,76}}{\sqrt{5,76+12,96}}\\\\\dfrac{CG}{CM}=\dfrac{\sqrt{8,32}}{\sqrt{18,72}}=\dfrac{\sqrt{4\times2,08}}{\sqrt{9\times2,08}}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}\\\\\boxed{\dfrac{CG}{CM}=\dfrac{2}{3}}[/tex]
Nous retrouvons ainsi la propriété connue :
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