Bonjour
Exo1
Rappel :
Ln(ab)=lna+lnb
ln(a^n)=nlna
1) (x+2)(x-1)=x²-x+2x-2=x²+x-2
Donc ln(x²+x-2)=ln((x+2)(x-1))=ln(x+2)+ln(x-1)
2) x+1=x(1+1/x) donc
ln(x+1)=ln(x(1+1/x))=lnx+ln(1+1/x)
3) √(4-x²)=√((2+x)(2-x))
Donc ln(√(4-x²))=1/2*ln(4-x²)=ln(√((2+x)(2-x)))=ln(√(2+x))+ln(√(2-x))
Exo2
1) f'(x)=alnx+(ax+b)*1/x=alnx+a+b/x
2) La courbe C coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse e donc f(e)=0
f'(1) est le coefficient directeur de la droite AB
A(1;0) et B(2;e-1)
donc f'(1)=(e-1)/(2-1)=e-1
3) f(e)=(ae+b)lne=ae+b=0
f'(1)=aln1+a+b/1=e-1
Donc :
ae+b=0
a+b=e-1
On en déduit que b=e-1-a. On reporte :
ae+e-1-a=0
a(e-1)=1-e
a=(1-e)/(e-1)=-1
b=e-1+1=e
Donc f(x)=(-x+e)lnx
