Bonjour Amalle34
Exercice n° 4
[tex]f(x)=x(7x^2-8,5x+2)[/tex]
[tex]f'(x)=x'\times (7x^2-8,5x+2)+x\times (7x^2-8,5x+2)'\\\\f'(x)=1\times (7x^2-8,5x+2)+x\times (14x-8,5)\\\\f'(x)=7x^2-8,5x+2+14x^2-8,5x\\\\\boxed{f'(x)=21x^2-17x+2}[/tex]
Signes de la dérivée f '(x) et variations de f.
[tex]f'(x)=0\\\\21x^2-17x+2=0\\\Delta=17^2-4\times21\times2=289-168=121\ \textgreater \ 0\\\\x_1=\dfrac{17-\sqrt{121}}{2\times21}=\dfrac{17-11}{42}=\dfrac{6}{42}=\dfrac{1}{7}\\\\x_2=\dfrac{17+\sqrt{121}}{2\times21}=\dfrac{17+11}{42}=\dfrac{28}{42}=\dfrac{2}{3}[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&\frac{1}{7}\approx0,14&&\frac{2}{3}\approx0,67&&+\infty \\ f'(x)&&+&0&-&0&+&\\f(x)&&\nearrow&\frac{13}{98}\approx0,13&\searrow&-\frac{10}{27}\approx-0,37&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
Ce tableau est en cohérence avec le graphique en pièce jointe.
Exercice n° 5
L'ensemble de définition de la fonction g est [0 ; +oo[
[tex]g(x)=(x-1)\sqrt{x}\\\\g'(x)=(x-1)'\times\sqrt{x}+(x-1)\times(\sqrt{x})'\\\\g'(x)=1\times\sqrt{x}+(x-1)\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\\\g'(x)=\sqrt{x}+\dfrac{x-1}{2\sqrt{x}}\\\\g'(x)=\dfrac{\sqrt{x}\times2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}+\dfrac{x-1}{2\sqrt{x}}\\\\g'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x}}+\dfrac{x-1}{2\sqrt{x}}\\\\g'(x)=\dfrac{2x+x-1}{2\sqrt{x}}\\\\\boxed{g'(x)=\dfrac{3x-1}{2\sqrt{x}}}[/tex]
La dérivée g'(x) est du même signe que 3x-1 car le dénominateur est strictement positif.
Cette dérivée n'est pas définie en 0 car o est une récine du dénominateur.
Signe de g'(x) et variations de g :
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&\frac{1}{3}\approx0,33&&+\infty \\ f'(x)&||&-&0&+&\\f(x)&0&\searrow&\approx-0,38&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
Ce tableau est en cohérence avec le graphique en pièce jointe.
