Répondre :
Bonjour Coolllinneee
Exercice 1
f(x) = 2x² + 5x - 3
[tex]1)\ f(1) = 2\times1 + 5\times1 - 3\\ f(1) = 2 + 5 - 3\\ f(1) = 4[/tex]
[tex]f(1+h) = 2(1+h)^2 + 5(1+h) - 3\\f(1+h)=2(1 + 2h + h^2) + 5 + 5h - 3\\f(1+h)=2 + 4h + 2h^2 + 5 + 5h - 3\\f(1+h)=2h^2+9h+4[/tex]
D'où, le taux d'accroissement de f entre 1 et 1+h est égal à
[tex]\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{(2h^2+9h+4)-4}{h}\\\\ \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{2h^2+9h+4-4}{h}\\\\ \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{2h^2+9h}{h}\\\\ \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{h(2h+9)}{h}\\\\\boxed{\dfrac{h(2h+9)}{h}=2h+9}[/tex]
[tex]2)\ f'(1)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}\\\\f'(1)=\lim\limits_{h\to0}(2h+9)\\\\f'(1)=2\times0+9\\\\\boxed{f'(1)=9}[/tex]
Par conséquent, f est dérivable en 1 car f'(1)existe et est un nombre réel.
En effet, f'(1) = 9.
Exercice 2
[tex]f(x)=x^3+2x^2+x-5[/tex]
[tex]1)\ f'(x)=(x^3+2x^2+x-5)'\\f'(x)=(x^3)'+(2x^2)'+x'-5'\\f'(x)=3x^2+4x+1-0\\\\\boxed{f'(x)=3x^2+4x+1}[/tex]
2) La courbe admet elle des tangentes qui ont pour coefficient directeur 1 ? Si oui, préciser en quel(s) point(s)
Il suffit de résoudre l'équation f '(x) = 1.
3x² + 4x + 1 = 1
3x² + 4x + 1 - 1 = 0
3x² + 4x = 0
x(3x + 4) = 0
x = 0 ou 3x + 4 = 0
x = 0 ou 3x = -4
x = 0 ou x = -4/3
Si x = 0, alors f(x) = 0 + 0 + 0 - 5 = -5
Si x = -4/3, alors f(x) = (-4/3)³ + 2*(-4/3)² + (-4/3) - 5
f(x) = -139/27
Par conséquent,
la courbe admet deux tangentes ayant pour coefficient directeur 1 :
la première tangente a comme point de contact le point A(0 ; -5)
la seconde tangente a comme point de contact le point B(-4/3 ; -139/27)
3) Donner l'équation de la tangente a la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 2.
Cette équation est de la forme : y = f '(2)(x - 2) + f(2)
Or
f '(x) = 3x² + 4x+ 1
==> f '(2) = 3*2² + 4*2 + 1 = 3*4 + 8 + 1 = = 12 + 9 = 21
f(2) = 2³ + 2*2² + 2 - 5 = 8 + 8 + 2 - 5 = 13.
D'où l'équation de la tangente est :
y = 21(x - 2) + 13
y = 21x - 42 + 13
[tex]\boxed{y=21x-29}[/tex]
Exercice 1
f(x) = 2x² + 5x - 3
[tex]1)\ f(1) = 2\times1 + 5\times1 - 3\\ f(1) = 2 + 5 - 3\\ f(1) = 4[/tex]
[tex]f(1+h) = 2(1+h)^2 + 5(1+h) - 3\\f(1+h)=2(1 + 2h + h^2) + 5 + 5h - 3\\f(1+h)=2 + 4h + 2h^2 + 5 + 5h - 3\\f(1+h)=2h^2+9h+4[/tex]
D'où, le taux d'accroissement de f entre 1 et 1+h est égal à
[tex]\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{(2h^2+9h+4)-4}{h}\\\\ \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{2h^2+9h+4-4}{h}\\\\ \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{2h^2+9h}{h}\\\\ \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{h(2h+9)}{h}\\\\\boxed{\dfrac{h(2h+9)}{h}=2h+9}[/tex]
[tex]2)\ f'(1)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}\\\\f'(1)=\lim\limits_{h\to0}(2h+9)\\\\f'(1)=2\times0+9\\\\\boxed{f'(1)=9}[/tex]
Par conséquent, f est dérivable en 1 car f'(1)existe et est un nombre réel.
En effet, f'(1) = 9.
Exercice 2
[tex]f(x)=x^3+2x^2+x-5[/tex]
[tex]1)\ f'(x)=(x^3+2x^2+x-5)'\\f'(x)=(x^3)'+(2x^2)'+x'-5'\\f'(x)=3x^2+4x+1-0\\\\\boxed{f'(x)=3x^2+4x+1}[/tex]
2) La courbe admet elle des tangentes qui ont pour coefficient directeur 1 ? Si oui, préciser en quel(s) point(s)
Il suffit de résoudre l'équation f '(x) = 1.
3x² + 4x + 1 = 1
3x² + 4x + 1 - 1 = 0
3x² + 4x = 0
x(3x + 4) = 0
x = 0 ou 3x + 4 = 0
x = 0 ou 3x = -4
x = 0 ou x = -4/3
Si x = 0, alors f(x) = 0 + 0 + 0 - 5 = -5
Si x = -4/3, alors f(x) = (-4/3)³ + 2*(-4/3)² + (-4/3) - 5
f(x) = -139/27
Par conséquent,
la courbe admet deux tangentes ayant pour coefficient directeur 1 :
la première tangente a comme point de contact le point A(0 ; -5)
la seconde tangente a comme point de contact le point B(-4/3 ; -139/27)
3) Donner l'équation de la tangente a la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 2.
Cette équation est de la forme : y = f '(2)(x - 2) + f(2)
Or
f '(x) = 3x² + 4x+ 1
==> f '(2) = 3*2² + 4*2 + 1 = 3*4 + 8 + 1 = = 12 + 9 = 21
f(2) = 2³ + 2*2² + 2 - 5 = 8 + 8 + 2 - 5 = 13.
D'où l'équation de la tangente est :
y = 21(x - 2) + 13
y = 21x - 42 + 13
[tex]\boxed{y=21x-29}[/tex]
Merci d'avoir visité notre site Web, qui traite d'environ Mathématiques. Nous espérons que les informations partagées vous ont été utiles. N'hésitez pas à nous contacter pour toute question ou demande d'assistance. À bientôt, et pensez à ajouter ce site à vos favoris !