Bonjour POKOPOPS
Exercice 1
1a) (x + 3)(-4x + 92) = -4x² + 92x - 12x + 276
(x + 3)(-4x + 92) = -4x² + 80x + 276
b) (-2x + 1)(2x - 39) = -4x² + 78x + 2x - 39
(-2x + 1)(2x - 39) = -4x² + 80x - 39
c) Tableau de signe de l’expression (-2x + 1)(2x - 39).
-2x + 1 = 0 ==> x = 1/2 = 0,5
2x - 39 = 0 ==> x = 39/2 = 19,5
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&0,5&&19,5&&+\infty \\ -2x+1&&+&0&-&-&-&\\2x-39&&-&-&-&0&+&\\(-2x+1)(2x-39)&&-&0&+&0&-&\\ \end{array}[/tex]
2) h(t) = -4t² + 80t + 276
a) La balle tombera au sol si h(0) = 0
-4t² + 80t + 276 = 0
(t + 3)(-4t + 92) = 0
t + 3 = 0 ou -4t + 92 = 0
t = -3 ou 4t = 92
t = -3 ou t = 92/4
t = -3 ou t = 23
Or t ne peut pas être négatif.
Donc la balle tombera au sol après 23 secondes.
b) La balle se trouvera au-dessus de la tour Eiffel (hauteur supérieure à 315 m) si h(t) > 315.
-4t² + 80t + 276 > 315
-4t² + 80t + 276 - 315 > 0
-4t² + 80t - 39 > 0
(-2t + 1)(2t - 39) > 0
En utilisant le tableau de signe de la question 1c), nous en déduisons que (-2t + 1)(2t - 39) > 0 <===> 0,5 < t < 19,5.
Par conséquent, la balle se trouvera au-dessus de la tour Eiffel entre 0,5 seconde et 19,5 secondes.
Exercice 2
[tex]1)\ \dfrac{70x}{x+2}\ge50\\\\\dfrac{70x}{x+2}-50\ge0\\\\\dfrac{70x}{x+2}-\dfrac{50(x+2)}{x+2}\ge0\\\\\dfrac{70x-50(x+2)}{x+2}\ge0\\\\\dfrac{70x-50x-100}{x+2}\ge0\\\\\dfrac{20x-100}{x+2}\ge0[/tex]
Tableau de signes.
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-2&&5&&+\infty \\ 20x-100&&-&-&-&0&+&\\x+2&&-&0&+&+&+&\\\dfrac{20x-100}{x+2}&&+&||&-&0&+&\\ \end{array}\\\\\\\dfrac{20x-100}{x+2}\ge0\Longleftrightarrow x\in]-\infty;-2[\cup[5;+\infty[[/tex]
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation est [tex]\boxed{S=]-\infty;-2[\cup[5;+\infty[}[/tex]
2) a) Le pourcentage de personnes connaissant le produit est supérieur à 50% si [tex]\dfrac{70x}{x+2}\ge50[/tex]
Par conséquent, en utilisant la question 1a), la campagne de publicité doit durer plus que 5 semaines pour que le pourcentage de personnes connaissant le produit soit supérieur à 50%.
b) Le pourcentage de personnes connaissant le produit est supérieur à 60% si [tex]\dfrac{70x}{x+2}\ge60[/tex]
Par conséquent, en utilisant les données de la question 1a), la campagne de publicité doit durer plus que 12 semaines pour que le pourcentage de personnes connaissant le produit soit supérieur à 60%.
c) Graphique en pièce jointe.
d) Quelle que soit la durée de la campagne publicitaire, l’impact de cette campagne n'apportera jamais plus que 70 % de personnes connaissant le produit.
Exercice 3
[tex]1)\ 100-h^2\ge64\\\\0\ge64-100+h^2\\\\h^2-36\le0\\\\(h-6)(h+6)\le0\\\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|} h&-\infty&&-6&&6&&+\infty \\ h-6&&-&-&-&0&+&\\h+6&&-&0&+&+&+&\\(h-6)(h+6)&&+&0&-&0&+&\\ \end{array}\\\\\\(h-6)(h+6)\le0\Longleftrightarrow x\in[-6;6][/tex]
L'ensemble des solutions de l'inéquation est [-6 ; 6]
2) a) Par Pythagore dans le triangle OIE rectangle en I,
[tex]OE^2=OI^2+IE^2\\\\10^2=h^2+R^2\\\\100=h^2+R^2\\\\\boxed{R^2=100-h^2}[/tex]
b) L'aire du disque de de rayon R est donné par [tex]\pi R^2[/tex], soit par [tex]\pi(100-h^2)[/tex]
L’aire du disque est supérieure à 64 cm².
Donc
[tex]\pi(100-h^2)\ge64\pi\\\\100-h^2\ge64\\\\-6\le h\le6\ \ (voir\ question\ 1)[/tex]
Or h ≥ 0
D'où : 0 ≤ h ≤ 6.
Par conséquent,
pour que l’aire du disque soit supérieure à 64 cm², il faut que h soit inférieur à 6 cm
