Bonjour Wendy14
Exercice 4
4.1) Pour tout point M ,
[tex]\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\\\\\Longrightarrow\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MA}=(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}).(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}) \\\\\Longrightarrow\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GA} \\\\\Longrightarrow \boxed{MA^2=MG^2+GA^2+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GA}}[/tex]
De même,
[tex]\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\\\\\Longrightarrow\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MB}=(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}).(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}) \\\\\Longrightarrow\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{GB} \\\\\Longrightarrow \boxed{MB^2=MG^2+GB^2+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GB}}[/tex]
et
[tex]\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\\\\\Longrightarrow\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MC}=(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}).(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}) \\\\\Longrightarrow\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GC}.\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GC} \\\\\Longrightarrow \boxed{MC^2=MG^2+GC^2+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GC}}[/tex]
D'où,
[tex]MA^2+MB^2+MC^2=MG^2+GA^2+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GA}\\+MG^2+GB^2+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GB}+MG^2+GC^2+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GC}\\\\MA^2+MB^2+MC^2=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2\\+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GB}+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GC}\\\\MA^2+MB^2+MC^2=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2\\+2\overrightarrow{MG}.(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})[/tex]
Or G est le centre de gravité du triangle ABC <==> [tex]\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}[/tex]
Donc,
[tex]MA^2+MB^2+MC^2=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{0}\\\\MA^2+MB^2+MC^2=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2+0\\\\\boxed{MA^2+MB^2+MC^2=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2}[/tex]
4.2) Puisque A, B, C et G sont fixes, la somme MA²+MB²+MC² sera minimale si 3MG²=0, soit si MG=0.
Le point M rendant la somme MA²+MB²+MC² minimale est donc le centre de gravité G du triangle ABC.
Exercice 5
Soit le triangle tel que a > b > c.
Dans tout triangle, la longueur d'un côté est supérieure à la différence des longueurs des deux autres côtés.
Donc :
a > c - b > 0 ==> a² > (c - b)² ==> a² > c² - 2bc + b²
b > c - a > 0 ==> b² > (c - a)² ==> b² > c² - 2ac + a²
c > b - a > 0 ==> c² > (b - a)² ==> c² > b² - 2ab + a²
En additionnant membre à membre ces 3 inégalités,
a² + b² + c² > c² - 2bc + b² + c² - 2ac + a² + b² - 2ab + a²
a² + b² + c² > 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2ac - 2bc
a² + b² + c² - 2a² - 2b² - 2c² > -2ab - 2ac - 2bc
-a² - b² - c² > -2ab - 2ac - 2bc
Multiplions les deux membres par (-1) < 0
a² + b² + c² < 2ab + 2ac + 2bc
Par conséquent,
[tex]\boxed{a^2 + b^2 + c^2 \ \textless \ 2(ab + ac + bc)}[/tex]
La démonstration serait analogue dans le cas où nous aurions a < c < b ou c < a < b ou les autres cas.
