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Bonjour Igore
1) a) Dans les équations de (D), remplaçons x, y et z par les coordonnées de A.
[tex]\left\{\begin{matrix}1=1+t\\-1=-2-t\\-3=4+2t \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}t=0\\t=-1\\2t=-7 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ Impossible[/tex]
D'où le point A n'appartient pas à la droite (D).
De même pour les coordonnées de B.
[tex]\left\{\begin{matrix}0=1+t\\0=-2-t\\-1=4+2t \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}t=-1\\t=-2\\2t=-5 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ Impossible[/tex]
D'où le point B n'appartient pas à la droite (D).
b) Un vecteur directeur de la droite (AB) est [tex]\overrightarrow{AB}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)=(0-1;0+1;-1-2)\\\\\boxed{\overrightarrow{AB}(-1;1;-3)}[/tex]
Les équations paramétriques de la droite (D) montrent qu'un vecteur directeur de cette droite (D) est [tex]\boxed{\overrightarrow{d}(1;-1;2)}[/tex]
Ces vecteurs ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont plus multiples entre elles.
En effet,
[tex]\dfrac{-1}{1}=\dfrac{1}{-1}\neq\dfrac{-3}{2}[/tex]
Par conséquent,
les droites (AB) et (D) ne sont pas parallèles.
c) Montrons que ces droites n'ont pas de point commun.
Or
[tex](D):\left\{\begin{matrix}x=1+t\\y=-2-t\\z=4+2t \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ (AB):\left\{\begin{matrix}x=-t'\\y=t'\\z=-1-3t' \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}1+t=-t'\\-2-t=t'\\4+2t=-1-3t' \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}t+t'=-1\\t+t'=-2\\4+2t=-1-3t' \end{matrix}\right.\ \ \ \ Impossible[/tex]
Il n'est pas possible d'avoir deux valeurs différentes pour la somme t+t'.
Par conséquent, il n'y a pas de point commun à (AB) et (D).
Nous en déduisons que ces droites ne sont pas coplanaires.
2) a) Nous avons déjà calculé [tex]\overrightarrow{AB}(-1;1;-3)[/tex]
De même
[tex]\overrightarrow{AC}(x_C-x_A;y_C-y_A;z_C-z_A)=(5-1;3+1;-1-2)\\\overrightarrow{AC}(4;4;-3)[/tex]
Ces vecteurs ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont plus multiples entre elles.
En effet :
[tex]\dfrac{-1}{4}\neq\dfrac{1}{4}\neq\dfrac{-3}{-3}[/tex]
Par conséquent, les points A, B et C ne sont pas alignés.
Ces points A, B et C déterminent donc un plan.
b) Déterminons s'il existe deux nombres réels x et y tels que [tex]\overrightarrow{d}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}[/tex]
[tex]\overrightarrow{d}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}\\\\(1;-1;2)=a(-1;1;-3)+b(4;4;-3)\\\\(1;-1;2)=(-a;a;-3a)+(4b;4b;-3b)\\\\(1;-1;2)=(-a+4b;a+4b;-3a-3b)\\\\\left\{\begin{matrix}-a+4b=1\\a+4b=-1\\-3a-3b=2 \end{matrix}\right.\\\\[/tex]
Or
[tex]\left\{\begin{matrix}-a+4b=1\\a+4b=-1 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}a=4b-1\\a+4b=-1 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}a=4b-1\\4b-1+4b=-1 \end{matrix}\right.\\\\\\\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}a=4b-1\\8b=0 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}a=-1\\b=0 \end{matrix}\right.[/tex]
Ces valeurs de a et de b ne vérifient pas l'équation -3a-3b=2.
En effet :
[tex]-3\times(-1)-3\times0=3-0=3\ne2[/tex]
D'où il n'existe pas de nombres réels x et y tels que [tex]\overrightarrow{d}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}[/tex]
Par conséquent, la droite (D) n'est pas parallèle au plan (ABC).
c) Le plan (ABC) comprend le point B(0;0;-1) et admet comme vecteurs directeurs [tex]\overrightarrow{BA}(1;-1;3)[/tex] et [tex]\overrightarrow{CB}(5;3;0)[/tex]
Par conséquent, un représentation paramétrique du plan (ABC) peut être donnée par :
[tex]\left\{\begin{matrix}x=0+1\times r+5\times s\\y=0-1\times r+3\times s\\z=-1+3\times r+0\times s \end{matrix}\right.\\\\\\\boxed{\left\{\begin{matrix}x= r+5s\\y=-r+3s\\z=-1+3r\end{matrix}\right.}[/tex]
d) Résoudre le système composé par les équations du plan (ABC) et de (D).
[tex]\left\{\begin{matrix}x= r+5s\\y=-r+3s\\z=-1+3r\\x= 1+t\\y=-2-t\\z=4+2t\end{matrix}\right.[/tex]
Nous en déduisons :
[tex]\left\{\begin{matrix}r+5s= 1+t\\-r+3s=-2-t\\-1+3r=4+2t\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}r+5s-t= 1\ \ (1)\\-r+3s+t=-2\ \ (2)\\3r-2t=5\ \ (3)\end{matrix}\right.[/tex]
Additionnons (1) et (2)
[tex]8s=-1\Longrightarrow \boxed{s=-\dfrac{1}{8}}[/tex]
Remplaçons s par -1/8 dans l'équation (1)
[tex]r-\dfrac{5}{8}-t=1\\\\r-t=\dfrac{13}{8}\ \ \ (4)[/tex]
Nous avons donc le système
[tex]\left\{\begin{matrix}-a+4b=1\\a+4b=-1 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}a=4b-1\\a+4b=-1 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}a=4b-1\\4b-1+4b=-1 \end{matrix}\right.\\\\\\\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}a=4b-1\\8b=0 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}a=-1\\b=0 \end{matrix}\right.[/tex]
Donc
[tex]3r-2t=5\Longrightarrow 3\times\dfrac{7}{4}-2t=5\\\\\dfrac{21}{4}-2t=5\\\\\boxed{t=\dfrac{1}{8}}[/tex]
En remplaçant ces valeurs de t dans le système d'équations de la droite (D), nous obtenons :
[tex]\left\{\begin{matrix}x= 1+t=1+\dfrac{1}{8}=\dfrac{9}{8}\\\\y=-2-\dfrac{1}{8}=-\dfrac{17}{8}\\\\z=4+2\times\dfrac{1}{8}=\dfrac{17}{4}\end{matrix}\right.\\\\\boxed{\left\{\begin{matrix}x=\dfrac{9}{8}\\\\y=-\dfrac{17}{8}\\\\z=\dfrac{17}{4}\end{matrix}\right.}[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point H sont (9/8 ; -17/8 ; 17/4)
1) a) Dans les équations de (D), remplaçons x, y et z par les coordonnées de A.
[tex]\left\{\begin{matrix}1=1+t\\-1=-2-t\\-3=4+2t \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}t=0\\t=-1\\2t=-7 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ Impossible[/tex]
D'où le point A n'appartient pas à la droite (D).
De même pour les coordonnées de B.
[tex]\left\{\begin{matrix}0=1+t\\0=-2-t\\-1=4+2t \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}t=-1\\t=-2\\2t=-5 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ Impossible[/tex]
D'où le point B n'appartient pas à la droite (D).
b) Un vecteur directeur de la droite (AB) est [tex]\overrightarrow{AB}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)=(0-1;0+1;-1-2)\\\\\boxed{\overrightarrow{AB}(-1;1;-3)}[/tex]
Les équations paramétriques de la droite (D) montrent qu'un vecteur directeur de cette droite (D) est [tex]\boxed{\overrightarrow{d}(1;-1;2)}[/tex]
Ces vecteurs ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont plus multiples entre elles.
En effet,
[tex]\dfrac{-1}{1}=\dfrac{1}{-1}\neq\dfrac{-3}{2}[/tex]
Par conséquent,
les droites (AB) et (D) ne sont pas parallèles.
c) Montrons que ces droites n'ont pas de point commun.
Or
[tex](D):\left\{\begin{matrix}x=1+t\\y=-2-t\\z=4+2t \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ (AB):\left\{\begin{matrix}x=-t'\\y=t'\\z=-1-3t' \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}1+t=-t'\\-2-t=t'\\4+2t=-1-3t' \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}t+t'=-1\\t+t'=-2\\4+2t=-1-3t' \end{matrix}\right.\ \ \ \ Impossible[/tex]
Il n'est pas possible d'avoir deux valeurs différentes pour la somme t+t'.
Par conséquent, il n'y a pas de point commun à (AB) et (D).
Nous en déduisons que ces droites ne sont pas coplanaires.
2) a) Nous avons déjà calculé [tex]\overrightarrow{AB}(-1;1;-3)[/tex]
De même
[tex]\overrightarrow{AC}(x_C-x_A;y_C-y_A;z_C-z_A)=(5-1;3+1;-1-2)\\\overrightarrow{AC}(4;4;-3)[/tex]
Ces vecteurs ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont plus multiples entre elles.
En effet :
[tex]\dfrac{-1}{4}\neq\dfrac{1}{4}\neq\dfrac{-3}{-3}[/tex]
Par conséquent, les points A, B et C ne sont pas alignés.
Ces points A, B et C déterminent donc un plan.
b) Déterminons s'il existe deux nombres réels x et y tels que [tex]\overrightarrow{d}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}[/tex]
[tex]\overrightarrow{d}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}\\\\(1;-1;2)=a(-1;1;-3)+b(4;4;-3)\\\\(1;-1;2)=(-a;a;-3a)+(4b;4b;-3b)\\\\(1;-1;2)=(-a+4b;a+4b;-3a-3b)\\\\\left\{\begin{matrix}-a+4b=1\\a+4b=-1\\-3a-3b=2 \end{matrix}\right.\\\\[/tex]
Or
[tex]\left\{\begin{matrix}-a+4b=1\\a+4b=-1 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}a=4b-1\\a+4b=-1 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}a=4b-1\\4b-1+4b=-1 \end{matrix}\right.\\\\\\\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}a=4b-1\\8b=0 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}a=-1\\b=0 \end{matrix}\right.[/tex]
Ces valeurs de a et de b ne vérifient pas l'équation -3a-3b=2.
En effet :
[tex]-3\times(-1)-3\times0=3-0=3\ne2[/tex]
D'où il n'existe pas de nombres réels x et y tels que [tex]\overrightarrow{d}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}[/tex]
Par conséquent, la droite (D) n'est pas parallèle au plan (ABC).
c) Le plan (ABC) comprend le point B(0;0;-1) et admet comme vecteurs directeurs [tex]\overrightarrow{BA}(1;-1;3)[/tex] et [tex]\overrightarrow{CB}(5;3;0)[/tex]
Par conséquent, un représentation paramétrique du plan (ABC) peut être donnée par :
[tex]\left\{\begin{matrix}x=0+1\times r+5\times s\\y=0-1\times r+3\times s\\z=-1+3\times r+0\times s \end{matrix}\right.\\\\\\\boxed{\left\{\begin{matrix}x= r+5s\\y=-r+3s\\z=-1+3r\end{matrix}\right.}[/tex]
d) Résoudre le système composé par les équations du plan (ABC) et de (D).
[tex]\left\{\begin{matrix}x= r+5s\\y=-r+3s\\z=-1+3r\\x= 1+t\\y=-2-t\\z=4+2t\end{matrix}\right.[/tex]
Nous en déduisons :
[tex]\left\{\begin{matrix}r+5s= 1+t\\-r+3s=-2-t\\-1+3r=4+2t\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}r+5s-t= 1\ \ (1)\\-r+3s+t=-2\ \ (2)\\3r-2t=5\ \ (3)\end{matrix}\right.[/tex]
Additionnons (1) et (2)
[tex]8s=-1\Longrightarrow \boxed{s=-\dfrac{1}{8}}[/tex]
Remplaçons s par -1/8 dans l'équation (1)
[tex]r-\dfrac{5}{8}-t=1\\\\r-t=\dfrac{13}{8}\ \ \ (4)[/tex]
Nous avons donc le système
[tex]\left\{\begin{matrix}-a+4b=1\\a+4b=-1 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}a=4b-1\\a+4b=-1 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}a=4b-1\\4b-1+4b=-1 \end{matrix}\right.\\\\\\\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}a=4b-1\\8b=0 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}a=-1\\b=0 \end{matrix}\right.[/tex]
Donc
[tex]3r-2t=5\Longrightarrow 3\times\dfrac{7}{4}-2t=5\\\\\dfrac{21}{4}-2t=5\\\\\boxed{t=\dfrac{1}{8}}[/tex]
En remplaçant ces valeurs de t dans le système d'équations de la droite (D), nous obtenons :
[tex]\left\{\begin{matrix}x= 1+t=1+\dfrac{1}{8}=\dfrac{9}{8}\\\\y=-2-\dfrac{1}{8}=-\dfrac{17}{8}\\\\z=4+2\times\dfrac{1}{8}=\dfrac{17}{4}\end{matrix}\right.\\\\\boxed{\left\{\begin{matrix}x=\dfrac{9}{8}\\\\y=-\dfrac{17}{8}\\\\z=\dfrac{17}{4}\end{matrix}\right.}[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point H sont (9/8 ; -17/8 ; 17/4)
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