Bonjour,
Il te suffit d'utiliser l'expression trigonométrique du produit scalaire (cf ton cours).
Alors on a :
vect(AE) scalaire vect(AF) = valeur absolue(vecteur(AE)) * valeur absolue (vecteur(AF)) * cos(vect(AE),vect(AF))
On applique Pythagore pour trouver :
AE=AF=√((AB)²+ (BE)²)=√((a)²+(a/2)²)=√(5a²/4)=(a√5)/2
Donc :
vect(AE) scalaire vect (AF) = ((a√5)/2)*((a√5/2)*cos(vect(AE),vect(AF))
= (5a²/4)*cos(θ)
(j'ai posé cos(vect(AE),vect(AF))=cos(θ) et donc θ l'angle cherché.)
D'autre part, grâce à la relation de Chasles, on a :
vect(AE)=vect(AB)+vect(BE)=vect(AB)+1/2vect(BC)=vect(AB)+1/2vect(AD)
de la même manière :
vect(AF)=vect(AD)+1/2vect(AB)
Donc :
vect(AF) scalaire vect(AE)=(vect(AB)+1/2vect(AD)) scalaire (vect(AD)+1/2vect(AB))
=1/2vect(AB) scalaire vect(AB) + vect(AB) scalaire vect(AD) + (1/2)*(1/2)*vect(AD) scalaire vect(AB) + 1/2vect(AD) scalaire vect(AD)
=1/2 (valeur absolue(vect(AB)))² + 1/2 (valeur absolue (vect(AD)))²
=1/2 a² + 1/2 a² =a²
On a donc : (5a²/4)cos(θ)=a² <=> cos(θ)=4/5
Avec la calculatrice : cos^(-1)(4/5)≈36.87°
Donc θ≈36.87°
