Bonjour Yoyolelapin
Fonction f :
Nous utiliserons la forme canonique de f(x) soit [tex]f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta[/tex]
Pour que f soit croissante sur [1 ; +oo[ et positive sur R, il suffit d'exprimer que f admet un minimum au point A(1 ; 1).
D'où [tex](\alpha;\beta)=(1;1)\ et\ a\ \textgreater \ 0[/tex]
Nous choisirons a = 1
Par conséquent,
la fonction trinôme f est définie par [tex]\boxed{f(x)=(x-1)^2+1}[/tex]
Si nous développons f(x), alors [tex]f(x)=(x^2-2x+1)+1=x^2-2x+2[/tex]
Par conséquent,
la fonction trinôme f est définie par [tex]\boxed{f(x)=x^2-2x+2}[/tex]
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Fonction g :
Nous utiliserons la forme factorisée de g(x) soit [tex]g(x)=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex] où x1 et x2 sont les racines de g.
Si g est négative sur [-3 ; 4] et le minimum de g existe pour x = 0,5, alors les racines de g sont x1 = -3 et x2 = 4.
D'où [tex]g(x)=a(x+3)(x-4)[/tex]
Or g admet un minimum en (0,5 ; -0,5), soit g(0,5) = -0,5.
[tex]a(0,5+3)(0,5-4)=-0,5\\a\times3,5\times(-3,5)=-0,5\\-12,25a=-0,5\\\\a=\dfrac{-0,5}{-12,25}\\\\a=\dfrac{50}{1225}=\dfrac{2}{49}[/tex]
Par conséquent,
la fonction trinôme g est définie par [tex]\boxed{g(x)=\dfrac{2}{49}(x+3)(x-4)}[/tex]
Nous pourrions développer l'expression g(x).
Dans ce cas, nous aurions la fonction g définie par [tex]\boxed{g(x)=\dfrac{2}{49}x^2-\dfrac{2}{49}x-\dfrac{24}{49}}[/tex]
