Bonjour Amalle34
[tex]h(x)=\dfrac{3x^2+2x-1}{x-1}\\\\h'(x)=\dfrac{(3x^2+2x-1)'\times(x-1)-(3x^2+2x-1)\times(x-1)'}{(x-1)^2}\\\\h'(x)=\dfrac{(6x+2)\times(x-1)-(3x^2+2x-1)\times1}{(x-1)^2}\\\\h'(x)=\dfrac{(6x+2)(x-1)-(3x^2+2x-1)}{(x-1)^2}\\\\h'(x)=\dfrac{6x^2-6x+2x-2-3x^2-2x+1}{(x-1)^2}\\\\\boxed{h'(x)=\dfrac{3x^2-6x-1}{(x-1)^2}}[/tex]
Etude du signe de la dérivée.
[tex]3x^2-6x-1=0\\\Delta=(-6)^2-4\times3\times(-1)=36+12=48\\\\x_1=\dfrac{6-\sqrt{48}}{2\times3}=\dfrac{6-\sqrt{16\times3}}{2\times3}=\dfrac{6-4\sqrt{3}}{2\times3}=\dfrac{2(3-2\sqrt{3})}{2\times3}=\dfrac{3-2\sqrt{3}}{3}\\\\x_2=\dfrac{6+\sqrt{48}}{2\times3}=\dfrac{6+\sqrt{16\times3}}{2\times3}=\dfrac{6+4\sqrt{3}}{2\times3}=\dfrac{2(3+2\sqrt{3})}{2\times3}=\dfrac{3+2\sqrt{3}}{3}[/tex]
[tex](x-1)^2=0\Longrightarrow x=1[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&\frac{3-2\sqrt{3}}{3}\approx-0,15&&1 \\3x^2-6x-1&&+&0&-&-\\(x-1)^2&&+&+&+&0\\h'(x)&&+&0&-&||\\h(x)&&\nearrow&8-4 \sqrt3\approx1,07&\searrow&||\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent,
le maximum local de h sur l'intervalle ]-oo ; 1[ est égal à [tex]\boxed{8-4 \sqrt3\approx1,07}[/tex]
Ce maximum est atteint pour [tex]\boxed{x=\dfrac{3-2\sqrt{3}}{3}\approx-0,15}[/tex]
