Bonjour Laurelinegirin
1) a) Nous sommes en présence d'un schéma de Bernoulli puisque les tirages se font « avec remise » et sont donc considéré comme des tirages indépendants.
De plus, à chaque tirage, il n'y a que deux issues :
Succès S : La pomme est commercialisable
Echec [tex]\overline{S}:[/tex] La pomme n'est pas commercialisable.
[tex]P(S)=1-P(\overlmine{S})\\\\P(S)=1-0,09\\\\\boxed{P(S)=0,91}[/tex]
Si X est la variable aléatoire égale au nombre de succès en 15 épreuves, alors X suit une loi binomiale de paramètres n = 15 et p = 0,91.
[tex]\boxed{P(X=15)=0,91^{15}\approx0,243}[/tex]
Par conséquent,
la probabilité que les 15 pommes soient toutes commercialisables est environ égale à 0,243 (arrondi au millième près).
b) Quelle est la probabilité qu'au moins 14 pommes soient commercialisables ?
[tex]P(X\ge14)=P(X=14)+P(X=15)\\\\P(X\ge14)\approx C_{15}^{14}\times0,91^{14}\times0,09^1+0,243\\\\P(X\ge14)\approx 15\times0,91^{14}\times0,09+0,243\\\\\boxed{P(X\ge14)\approx 0,604}[/tex]
Par conséquent,
la probabilité qu'au moins 14 pommes soient commercialisables est environ égale à 0,604 (arrondi au millième près).
2) La taille de l'échantillon est égale à 200.
Les conditions suivantes sont réalisées :
[tex]n=200\ge30\\n p=200\times0,09=18\ge5\\ n(1-p)=200\times0,91=182\ge5[/tex]
D'où, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est
[tex]I=[0,09-1,96\times\sqrt{\dfrac{0,09\times0,91}{200}};0,09+1,96\times\sqrt{\dfrac{0,09\times0,91}{200}}][/tex]
soit après les arrondis :
[tex]I=[0,09-1,96\times0,02\ ;\ 0,09+1,96\times0,02]\\\\I=[0,09-0,04\ ;\ 0,09+0,04]\\\\I=[0,05\ ;\ 0,13][/tex]
Or la proportion des pommes non commercialisables dans l'échantillon est égale à 22/200 = 0,11.
Puisque 0,11 appartient à l'intervalle I, le résultat est conforme à ce que le responsable des achats pouvait attendre.
