2) Déterminer une valeur arrondie à 10⁻³ près de chacun des événements suivants :
A : « L'échantillon contient au moins un article défectueux »
Nous considérerons l'événement contraire :
[tex]\overline{A}:[/tex] « L'échantillon ne contient pas d'article défectueux », soit X=0
[tex]p(A)=1-p(\overline{A})\\\\p(A)=1-p(X=0)\\\\p(A)=1-\begin{pmatrix}120\\0\end{pmatrix}\times0,03^0\times0,97^{120}\\\\p(A)\approx1-0,025858785\\\\\boxed{p(A)\approx0,974141215}[/tex]
Par conséquent,
La probabilité que l'échantillon contienne au moins un article défectueux est égale à 0,974 (arrondi à 10⁻³ près)
B : « L'échantillon contient au plus trois articles défectueux », soit X=0 ou X=1 ou X=2 ou X = 3
[tex]p(B)=p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)+p(X=3)\\\\p(B)=\begin{pmatrix}120\\0\end{pmatrix}\times0,03^0\times0,97^{120}+\begin{pmatrix}120\\1\end{pmatrix}\times0,03^1\times0,97^{119}\\\\+\begin{pmatrix}120\\2\end{pmatrix}\times0,03^2\times0,97^{118}+\begin{pmatrix}120\\3\end{pmatrix}\times0,03^3\times0,97^{117}\\\\\\\boxed{p(B)\approx0,51327574}[/tex]
Par conséquent,
La probabilité que l'échantillon contienne au plus trois articles défectueux est égale à 0,513 (arrondi à 10⁻³ près)
C : « L'échantillon contient entre 20 et 60 articles défectueux, (20 et 30 compris)», soit 20 ≤ X ≤ 60
[tex]p(20\le X\le 60)\\\\=p(X=20)+p(X=21)+...+p(X=59)+p(X=60)\\\\=\begin{pmatrix}120\\20\end{pmatrix}\times0,03^{20}\times0,97^{100}+\begin{pmatrix}120\\21\end{pmatrix}\times0,03^{21}\times0,97^{99}+...\\\\+\begin{pmatrix}120\\59\end{pmatrix}\times0,03^{59}\times0,97^{61}+\begin{pmatrix}120\\60\end{pmatrix}\times0,03^{60}\times0,97^{60}\\\\\approx5,71963\times10^{-10}[/tex]
Par conséquent,
la probabilité que l'échantillon contienne entre 20 et 60 articles défectueux, (20 et 30 compris) est environ égale à 5,7*10⁻¹⁰.
Remarque :
Ce dernier résultat aurait pu être calculé par un tableur :
p(20 ≤ X ≤ 60) = p(X ≤ 60) - p(X ≤ 19)
=LOI.BINOMIALE(60;120;0,03;1)-LOI.BINOMIALE(19;120;0,03;1)