On considère le cercle trigonométrique, ayant donc un rayon de 1.
On trace donc l'axe x et l'axe y à partir du centre de ce cercle vers respectivement la droite et le haut.
On trace maintenant une droite partant du centre O et faisant un angle de pi /4 soit 45 degré par rapport à l'axe x. Elle coupe le cercle au point M. On crée enfin une droite parallèle à l'axe y et partant de M vers le bas, elle coupe l'axe x en C.
On a alors un triangle OCM qui est rectangle en C.
De plus, on sait que la somme des angles d'un triangle vaut pi. Or on connaît deux des angles MOC vaut pi/4 et MCO vaut pi/2 il vient donc que COM vaut pi-pi/2-pi/4 = pi/4
Le triangle est donc isocèle et donc il est isocèle rectangle
Le deux côtés du triangle qui ne sont pas l'hypoténuse sont donc de même longueur.
Le théorème de Pythagore dit alors que l'on a
OM^2=MC^2 + CO^2
Et MC=CO donc
OM^2=2MC^2
Or on sait que OM= 1 puisque c'est le rayon du cercle donc MC^2=1/2
Les distances étant positives il vient MC = 1/ racine de 2.
En multipliant le numérateur et le dénominateur par racine de 2 il vient MC= racine de 2 / 2
On connaît donc MC et CO.
On s'intéresse maintenant à l'angle COM valant pi/4 la définition du cosinus nous dit qu'il vaut la longueur du côté adjacent par l'hypoténuse soit
Cos COM = OC/OM donc
Cos pi/4 = (racine de 2 /2)/1 = racine de 2 / 2
On fait pareil avec le sinus valant opposé sur hypoténuse
Sin COM = CM / OM...=racine de 2 / 2
