Bonjour,
1) [tex]u_1= \frac{2u_0}{2+3u_0}= \frac{2*1}{2+3*1} = \frac{2}{5} = 0.4[/tex]
[tex]u_2= \frac{2u_1}{2+3u_1}= \frac{2*0.4}{2+3*0.4} = \frac{1}{4}=0.25 [/tex]
2) [tex] \frac{u_2}{u_1} = \frac{0.25}{0.4} =0.625[/tex]
[tex]\frac{u_1}{u_0} = \frac{0.4}{1} =0.4[/tex]
Donc [tex]\frac{u_2}{u_1} \neq \frac{u_1}{u_0}[/tex]
Donc la suite [tex](u_n)[/tex] n'est pas géométrique.
3) La représentation graphique est en pièce-jointe.
On suppose que la suite [tex](u_n)[/tex] converge vers 0.
4) a) [tex]v_0=1+ \frac{2}{u_0} = 1+ \frac{2}{1} =3[/tex]
[tex]v_1=1+ \frac{2}{u_1} = 1+ \frac{2}{0.4} =6[/tex]
[tex]v_2=1+ \frac{2}{u_2} = 1+ \frac{2}{0.25} =9[/tex]
b) [tex]v_{n+1}=1+ \frac{2}{u_{n+1}}=1+\frac{2}{\frac{2u_n}{2+3u_n}}=1+2*\frac{2+3u_n}{2u_n}=1+\frac{2+3u_n}{u_n}=[/tex] [tex]1+\frac{2}{u_n}+3[/tex]
Or [tex]1+\frac{2}{u_n}=v_n[/tex]
Donc [tex]v_{n+1}=v_n+3[/tex]
Donc la suite [tex](v_n)[/tex] est arithmétique de raison r = 3 et de premier terme [tex]v_0=3[/tex]
c) Comme la suite [tex](v_n)[/tex] est arithmétique :
[tex]v_n=nr+v_0 = 3n+3[/tex]
Donc [tex]v_n=1+ \frac{2}{u_n} \Rightarrow 3n+3=1+\frac{2}{u_n} \Rightarrow 3n+2=\frac{2}{u_n} \Rightarrow u_n=\frac{2}{3n+2}[/tex]
