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Remarques : - En 3ième, on est donc amené finalement à résoudre deux équations du premier degré. - Le cas général sera traité au lycée en classe de première (car toutes les équations du deuxième degré ne se ramène pas à une équation produit !). Illustration 2 Résoudre x2 + 6x + 9 = 0 On factorise le membre de gauche avec l'identité remarquable a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 x 2 + 6x + 9 est de la forme x2 + 2 x 3 + 32 ou encore (x + 3) 2 Résoudre x2 + 6x + 9 = 0 revient à résoudre l'équation-produit (x + 3)2 = 0 dont les facteurs sont les mêmes x + 3 et x + 3. Si un produit est nul, alors l’un au moins de ses facteurs est nul. Donc : x + 3 = 0x = -3ouInutile ici de résoudredeux foisl'équation x + 3 = 0 L'équation a une seule solutions -3. Vérification : Si x = -3 Alors : x2 + 6x + 9 = (-3)2 + 6 (-3) + 9 = 9 + (-18) + 9 = 18 + ( -18) = 0 Ainsi : 2 + 6x + 9 = 0 Illustration 3 Résoudre (2x + 3 )2 = 16 Résoudre (2x + 3 )2 = 16 revient à résoudre (2x + 3 )2 - 16 = 0 On factorise le membre de gauche avec l'identité remarquable a2 - b2 = (a - b) (a + b) (2x + 3 ) - 16 est de la forme (2x + 3 )2 - 42 ou encore ( 2x + 3 - 4) (2x + 3 + 4) c'est à dire en réduisant (2x - 1) ( 2x + 7) Résoudre (2x + 3 )2 = 16 revient à résoudre l'équation-produit (2x - 1) ( 2x + 7) = 0 dont les facteurs sont 2x - 1 et 2x + 7 Si un produit est nul, alors l’un au moins de ses facteurs est nul. Donc : 2x - 1 = 02x = 1x = ou2x + 7 = 02x = -7x = L'équation a deux solutions et . Vérification : Si x = Alors : (2x + 3)2 = (2 + 3 )2 = (1 + 3)2 = 42 = 16 Ainsi : (2x + 3)2 = 16 Si x = Alors : (2x + 3)2 = (2 + 3 )2 = (-7 + 3)2 = 42 = 16 Ainsi : (2x + 3)2 = 16 Illustration 4 Résoudre (2x - 3) (x + 4) - (2x - 3) (7 - 4x) = 0 On factorise le membre de gauche en utilisant la formule ka - kb = 0 avec comme facteur commun k = 2x - 3 (2x - 3) (x + 4) - (2x - 3) (7 - 4x) est de la forme (2x - 3) [ ( x + 4) - ( 7 - 4x)] ou encore (2x - 3) (x + 4 - 7 + 4x) soit (2x - 3) ( 5x - 3) Résoudre (2x - 3) (x + 4) - (2x - 3) (7 - 4x) = 0 revient à résoudre l'équation-produit(2x - 3) ( 5x - 3) = 0 dont les facteurs sont (2x - 3) et (5x - 3) Si un produit est nul, alors l’un au moins de ses facteurs est nul. Donc : 2x -3 = 02x = 3x = ou5x - 3 = 05x = 3x = L'équation a deux solutions et . Vérification : Laissée en exercice ... Illustration 5 : résoudre un problème Marcel a 34 ans et son fils 10 ans. Dans combien d'années Marcel sera-t-il trois fois plus âgé que son fils ? 1 ) Nombre d'années cherché : x (années) 2 ) Mise en équation : 34 + x = 3 (10 + x) 3 ) Résolution de l'équation : 34 + x = 3 (10 + x)34 + x = 310 + 3x34 + x = 30 + 3x34 - 30 + x = 3x4 + x = 3x4 = 3x - x4 = 2x2 = xLa solution de l'équation est 2. 4 ) Marcel sera trois fois plus âgé que son fils dans 2 ans. Vérification : Dans 2 ans, Marcel aura 36 ans et son fils aura 2 ans. On a bien 36 = 3 12
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