Bonjour
On peut démontrer par récurrence que
∑k³=n²(n+1)²/4
Pour n=1
1³=1²(1+1)²/4=1
ça marche au rang 1
supposons qu'au rang n on ait ∑k³=n²(n+1)²/4
Alors au rang n+1 on a :
∑k³+(n+1)³=n²(n+1)²/4+(n+1)³=n²(n+1)²/4+4(n+1)³/4
=(n+1)²[n²+4(n+1)]/4=(n+1)²(n²+4n+4)/4=(n+1)²(n+2)²/4
Donc
1³+2³+...+n³+(n+1)³=(n+1)²(n+2)²/4
Conclusion :
∑k³=n²(n+1)²/4
On peut aussi faire une démonstration directe sans récurrence en utilisant les sommes des n premiers entiers et des n premiers carrés mais elle est un peu plus complexes. Si tu en as besoin dis le, je te la rédigerais.
