Bonjour,
B1a) et B1b) Je te joins une courbe, tu n'auras qu'à vérifier qu'elle correspond à la tienne.
B2a) f(1)=1
f(2)=3
f(3)=6
B2b) f(1)=a+b+c=1
f(2)=4a+2b+c=3
f(3)=9a+3b+c=6
Soit le système :
a+b+c=1 (1)
4a+2b+c=3 (2)
9a+3b+c=6 (3)
B2c) on résout :
a+b+c=1 (1)
3a+b=2 (2)-(1)
8a+2b=5 (3)-(1)
a+b+c=1 (1)
3a+b=2 (2)-(1)
2a=1 (3)-(1)-2x(2)
Donc a=1/2, b=2-3*1/2=1/2 et c=1-1/2-1/2=0
Donc f(x)=x²/2+x/2
On conjecture donc que Tn=n²/2+n/2
B2d) Je te laisse vérifier
B2e) Les coefficients d'un polynômes sont uniques donc l'expression est valide pour n'importe quel nombre Tn
C1) Le rectangle comporte n+1 carrés en longueur et n carrés en largeur.
Il y a donc au total n(n+1) carrés.
Comme la figure est en double, on en déduit que Tn=n(n+1)/2=n²/2+n/2
C2) Tn serait arithmétique si la différence de 2 termes consécutifs donnait toujours le même résultat. Or :
T2-T1=3-1=1
T3-T2=6-3=3
donc Tn n'est pas arithmétique
C3) T₁₀₀=100²/2+100/2=10000/2+50=5050
C4) On cherche n tel que n²/2+n/2>100
Soit n²+n-200>0
On cherche les racines de ce polynôme :
Δ=1+4*1*200=801
n1=(-1+√801)/2 et n2=(-1-√801)/2 <0
Un polynôme de coefficient de plus haut degré positif est positif à l'extérieur des racines donc comme n>0, Tn>100 si n≥(-1+√801)/2
(-1+√801)/2≈13,65
Donc à partir de n=14, Tn>100
Tu aurais pu le faire en tâtonnant mais comme ça tu as une méthode rigoureuse.
C5) x²/2+x/2=1225
⇔x²/2+x/2-1225=0
⇔x²+x-2450=0
Δ=1²+4*1*2450=9801
√Δ=99
Les racines sont x1=(-1+99)/2=49 et x2=(-1-99)/2=-50
Donc il existe un nombre triangulaire égale à 1225 pour n=49.
Il n'y en a pas égale à 1226
