Bonjour,
[tex]||AB||=2 ,||BH||=1 ,||HC||=2 ,||BC||=3\\
Ia)\\
\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{BC}=1*3=3\\
\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{BH}=2*1*(-1)=-2\\
\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{HB}=h*1*cos(90^{\circ})=0\\
\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HA}).\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BC}=1*3+0=3\\
[/tex]
[tex]\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BH}=(\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{HA}).\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BH}=-2*1+0=-2\\
[/tex]
[tex]Ib)\\
\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\\
\overrightarrow{AC}^2=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})^2=
\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{BC}^2
+2*\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=4+9-6=7
[/tex]
[tex]Ic)\\
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}\\
=\overrightarrow{AB}^2-\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} =2^2-3=1\\
[/tex]
[tex]Id)\\
\mbox{En utilisant le th\'eor\`eme d'Al Kashi:}\\
\\
BC^2=AB^2+AC^2-2*AB*AC*cos(\widehat{ABC})\\
=AB^2+AC^2+2*\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\\
-2*\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=BC^2-AB^2-AC^2=9-4-7=-2\\
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=1
[/tex]
[tex]Ie)\\
-2*2*\sqrt{7}*cos(\widehat{ABC})=-2\\
cos(\widehat{ABC})=\dfrac{1}{2\sqrt{7}}\\
A=79.10660535...^{\circ}
[/tex]
[tex]II)\\
Soit P un point quelconque et M le milieu de [AB]\\
\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AM}\\
\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BM}\\
2*\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}\\
[/tex]
[tex]1)\\
M=mil[AI]==\textgreater\ 2*\overrightarrow{HM}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HI}\\
J=mil[AD]==\textgreater\ 2*\overrightarrow{HJ}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HD}\\
[/tex]
[tex] 2*\overrightarrow{HM}.2*\overrightarrow{HJ}=(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HI}).(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HD})\\
=HA^2+\overrightarrow{HI}.\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{HI}.\overrightarrow{HD}= HA^2+0+0+\overrightarrow{HI}.\overrightarrow{HD}\\
0=\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AD}=(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HI}).(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HD})\\
=HA^2+\overrightarrow{HI}+\overrightarrow{HD}\\
[/tex]
[tex]==\textgreater\ HM \perp\ HJ\\[/tex]
[tex]2)\\
A=(0,0), H=(x,y), D=(0,1), I=(1/2,0) \\
\overrightarrow{AH}=x*\vec{i}+y*\vec{j}\\
\overrightarrow{DI}=\frac{\vec{i}}{2}-\vec{j}\\
AH \perp\ DI==\textgreater\ \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{DI}=(x*\vec{i}+y*\vec{j}).(\frac{\vec{i}}{2}-\vec{j})=x/2-y=0\\
[/tex]
[tex]D,H,I\ align\'es==\textgreater\ \overrightarrow{DI}=k*\overrightarrow{DAH}\\
\overrightarrow{DI}=\frac{\vec{i}}{2}-\vec{j}\\
\overrightarrow{DH}=x*\vec{i}+(y-1)*\vec{j}\\
\dfrac{\vec{i}}{2}-\vec{j}=k(x*\vec{i}+(y-1)*\vec{j})\\
kx=1/2\ et\ ky-k+1=0 \\
Comme\ y=x/2, k=5/4, x=2/5\ et\ y=1/5\\
[/tex]
[tex]J=(0,1/2), H=(2/5,1/5), M=(1/4,0)\\
\overrightarrow{JH}.\overrightarrow{HM}=(2/5*\vec{i}-3/10*\vec{j}).(-3/20*\vec{i}-1/5*\vec{j})\\
=-3/50+3/50=0==\textgreater\ JH \perp\ HM
[/tex]
