Bonjour,
2)
a) la forme factorisée donnée est : -3 (X-30) * (X-10) et B(x) = -3X^2+120X-900
Pour vérifier si elle correspond à B(x) on va la développer :
on a donc : -3 (X-30) * (X-10) . = (-3X +90 ) ( X-10)
= -3X^2+30X+ 90X-900
= -3X^2+120X-900
La factorisation est donc exacte.
La forme canonique est : a (x-alpha)^2 +bêta
on sait que alpha = -b/2a et bêta est F(alpha) .
B(x) = -3X^2+120X-900 et la forme donnée par le programme est : -3 (X-20) ^2 +300
La forme canonique est donc
Forme canonique = -3 ( X- ( -120/ 2 (-3) )^2 + ( - 3(-120/-6)^2+120 ( 20) -900)
= -3(X -20)^2 + (-3 (20)^2 +2400-900)
= -3(X-20)^2 +( -1200+2400-900)
= -3 (X-20)^2 +300
La forme canonique donnée est exacte.
b)
1) la forme canonique car si X= 20 alors -3 (X-20) ^2 = 0 et donc on voit que le bénéfice est +300 sans calcul.
2) la forme factorisée. En effet, un produit de facteurs est nul si un des facteurs est nul. Or la forme factorisée est -3 (X-30) * (X-10) . Donc B(x) est égal à 0 pour X-30 = 0 soit X= 30 ou X-10 =0 donc X= 10
Le bénéfice est maximal au sommet de la courbe qui a pour coordonnée S ( alpha;bêta) . Or Alpha = 20 et Bêta = 300 .
Donc le bénéfice maximal est obtenu pour 20 unités produite et est de 300 euros.
L'activité est rentable si la recette est supérieur au coût, soit quand B(x) est positive. Or nous avons vu que pour 10 unités et 30 unités elle est de 0.
10 et 30 sont donc les résultats (racines ) de B(x) = 0 .
Dans B(x) , a= -3 .
Or une fonction polynôme du second degré est du signe de a sauf entre les racines si elles existent. Ici donc, le bénéfice ( courbe positive ) existe seulement pour X compris entre ]10; 30 [
