Bonjour,
On va raisonner par l'absurde. Pour cela on suppose que xy >= 1/4. Soit x >= 1/4y
On aurait alors x + y >= 1/4y + y.
Soit encore x+y >= (1+4y^2)/4y.
Or x+y=1.
Donc on devrait avoir 1 >= (1+ 4y^2)/4y
Soit 4y^2 - 4y + 1 <= 0.
Ce qui donne 4 (y-1/2)^3 <= 0.
Une seule solution a cette inégalité y=1/2. Et alors x=1/2.
Ce qui donne xy=1/4.
Par contre 4 (y-1/2)^2 < 0 est impossible.
Conclusion : l'hypothèse de départ est fausse et donc xy<= 1/4.
Remarques : on peut avoir xy=1/4 contrairement à ton énoncé. Et je l'ai pas écrit, mais lorsque l'on multiplie ou divisé par y, il faut noter que y est positif pour que les inégalités ne changent pas de sens.
