bonjour
initialisation
pour
n=0
1+10^(3*0
+1)+10^(6*0+2)
=1+10+10²
= 1 +10 +100 = 111
donc
la propriété est vraie au rang 0 c'est à dire pour n =
0
hérédité
soit
k un entier naturel
supposons
que 1 +10^(3k+1) +10^(6k+2) soit un multiple de 111
(hypothèse de récurrence)
il faut montrer que la
propriété est vraie pour l'entier suivant
c'est
à dire que
1
+10^(3(k+1)+1) +10^(6(k+1)+2)
soit
1+10^(3k+4) +10^(6k+8) est vraie
démonstration
de l'hérédité
10^3=
1000 = 999+1 = 9 x 111 +1
10^6
= 10^3 × 10^3 = (9 x 111 +1) × 10^3
=10^3
× 9 × 111 + 10^3
=
9000 × 111 + 9 × 111 +1
=
111 × ( 9000 +9) +1
=111 ×
9009 +1
1+10^(3k+4) +10^(6k+8)
= 1
+10^ (3k+1) × 10^3 +10^(6k+2) × 10^6
donc
on a :
1
+ 10^(3k+1) × (9 x 111 +1) + 10^(6k+2) × (111 × 9009 +1)
=1
+ 10^(3k+1) × 9 × 111 + 10^(3k+1) + 10^(6k+2) × 111 × 9009 +
10^(6k+2)
=1
+ 10^(3k+1) + 10^(6k+2) + 10^(3k+1) × 9 × 111 + + 10^(6k+2)
× 111 × 9009
=1
+ 10^(3k+1) + 10^(6k+2) + 111 [ 10^(3k+1) × 9 + 10^(6k+2) × 9009 ]
on
sait d'après l'hypothèse de récurrence que
1
+ 10^(3k+1) + 10^(6k+2) est un multiple de 111
et
111 [ 10^(3k+1) × 9 + 10^(6k+2) × 9009 ] = 111K
donc
multiple de 111
la
somme de 2 multiples étant aussi un multiple de ce nombre.
donc
l'égalité est vérifié au rang k+1
donc
la propriété est héréditaire
conclusion
proposition
vraie pour n =0
par hérédité elle est vraie pour l'entier
supérieur
elle est donc vraie pour tout nombre entier n, n≥0
