f(x) = - 4x³ + ax² + bx + c
1) - 1 et 2 sont racines de f donc f(x) = (x+1)(x - 2) (......)
je sais que quand je vais redévelopper, je dois tomber sur -4x³ pour la plus grande puissance de x , donc je sais déjà que f(x) va être de la forme :
f(x) = (x+1)(x - 2) (- 4x +......)
donc la plus grande puissance de x, dans la dernière parenthèse inconnue, c'est 1, donc forcément ça va être de la forme (- 4x + une constante)
Que peut bien valoir cette constante?
Je multiplie toutes les constantes des parenthèses (x+1)(x - 2)(- 4x + une constante), et je sais que ça va être égal à c; par analogie avec f(x) = - 4x³ + ax² + bx + c
donc 1 * (-2) * (une constante) = c , ça veut dire -2 * une constante = c
donc une constante = - c/2
Je remplace dans la troisième parenthèse :
f(x) = (x+1)(x - 2) (- 4x - c/2)
(tu peux voir qu'en redéveloppant, on aura bien -4x³ en plus grande puissance et c en constante, pour f(x)
Maintenant j'utilise la deuxième partie de l'énoncé :
la courbe de f passe par A(0;4)
Ca veut dire qu'il existe un point A tel que f(0) = 4
Je remplace dans f(x) = (x+1)(x - 2) (- 4x - c/2) :
4 = (0+1)(0 - 2) (- 4*0 - c/2) = -2 (- c/2) = c
On obtient c = 4
et donc f(x) = (x+1)(x - 2) (- 4x - 2)
J'arrange un peu : f(x) = (x+1)(x - 2) (-2)(2 x +1)
donc f(x) = -2 (x+1)(x - 2)(2x+1)
On redéveloppe pour trouver a et b par identification :
f(x) = (x+1)(x - 2) (- 4x - 2) = (x²-2x +x -2) (- 4x - 2)
= (x² - x - 2)(- 4x - 2) = -4x³ + 4x² +8x -2x² +2x +4
= - 4x³ +2x² + 10x + 4
On obtient alors a = 2 et b = 10
Voilà, méthode ok mais revois les calculs, on ne sait jamais.
