Bonjour Marina88
1) Aire du triangle AMN rectangle en A avec AM = x et AN = AB-BN = 12 - 2x
[tex]Aire_{AMN}=\dfrac{AM\times AN}{2}=\dfrac{x\times (12-2x)}{2}\\\\Aire_{AMN}=\dfrac{2x(6-x)}{2}=x(6-x)=6x-x^2\\\\\boxed{A(x)=6x-x^2}[/tex]
2) f(x) = 6x - x²
a) Forme canonique de f et coordonnées du sommet S.
[tex]f(x)=6x-x^2\\f(x)=-x^2+6x\\f(x)=-(x^2-6x)\\f(x)=-[(x^2-6x+9)-9]\\f(x)=-[(x-3)^2-9]\\\\\boxed{f(x)=-(x-3)^2+9}[/tex]
Sachant que que si [tex]f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta[/tex],
alors les coordonnées du
sommet de la parabole sont [tex](\alpha ;\beta)[/tex]
D'où, les coordonnées du sommet S sont (3 ; 9).
b) Graphique en pièce jointe.
3) Recherche des valeurs de x telles que 6 ≤ f(x) ≤ 8
a) graphiquement.
Représentons les deux droites horizontales d'équations y = 6 et y = 8.
Il faut ensuite déterminer l'ensemble des abscisses des points des portions de parabole se situant entre ces deux droites.
Ces valeurs de x sont approximativement comprises entre 1,3 et 2 et également entre 4 et 4,7.
Donc on peut conjecturer que l'ensemble des nombres x de I tels que 6 ≤ f(x) ≤ 8 est l'ensemble [1,3 ; 2] U [4 ; 4,7]
b) Question bonus.
Résoudre dans [0 ; 5] les inéquations 6 ≤ f(x) ≤ 8 revient à résoudre les inéquations 6 ≤ -(x-3)² + 9 ≤ 8
[tex]1)\ 6\le-(x-3)^2+9\\6\le9-(x-3)^2\\0\le9-6-(x-3)^2\\0\le3-(x-3)^2\\3-(x-3)^2\ge0\\(\sqrt{3})^2-(x-3)^2\ge0\\\ [\sqrt{3}-(x-3)][\sqrt{3}+(x-3)]\ge0\\(\sqrt{3}-x+3)(\sqrt{3}+x-3]\ge0\\(-x+\sqrt{3}+3)(x+\sqrt{3}-3]\ge0\\\\racines:\\-x+\sqrt{3}+3=0\Longrightarrow x=3+\sqrt{3}\approx4,73\\x+\sqrt{3}-3=0\Longrightarrow x=3-\sqrt{3}\approx1,27\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|} x&0&&3-\sqrt{3}&&3+\sqrt{3}&&5\\-x+\sqrt{3}+3&&+&+&+&0&-&\\x+\sqrt{3}-3&&-&0&+&+&+&\\(-x+\sqrt{3}+3)(x+\sqrt{3}-3]&&-&0&+&0&-&\\\end{array}[/tex]
[tex](-x+\sqrt{3}+3)(x+\sqrt{3}-3]\ge0\Longleftrightarrow \boxed{x\in[3-\sqrt{3}\ ;3+\sqrt{3}]}[/tex]
De même,
[tex]-(x-3)^2+9\le8\\-(x-3)^2+9-8\le0\\-(x-3)^2+1\le0\\1-(x-3)^2\le0\\1^2-(x-3)^2\le0\\\ [1-(x-3)][1+(x-3)]\le0\\(1-x+3)(1+x-3)\le0\\(-x+4)(x-2)\le0\\\\Racines:\\-x+4=0\Longrightarrow x=4\\x-2=0\Longrightarrow x=2\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|} x&0&&2&&4&&5\\-x+4&&+&+&+&0&-&\\x-2&&-&0&+&+&+&\\(-x+4)(x-2)&&-&0&+&0&-&\\ \end{array}\\\\\\(-x+4)(x-2)\le0\Longleftrightarrow \boxed{x\in[0;2]\cup[4;5]}[/tex]
L'ensemble des solutions des inéquations 6 ≤ f(x) ≤ 8 est l'ensemble des valeurs communes aux deux ensembles [tex][3-\sqrt{3}\ ;3+\sqrt{3}][/tex] et [tex][0;2]\cup[4;5][/tex]
Par conséquent,
l'ensemble des solutions des inéquations 6 ≤ f(x) ≤ 8 est [tex]\boxed{[3-\sqrt{3}\ ; 2]\cup[4\ ;\ 3+\sqrt{3}]}[/tex]
En valeurs approchées, cet ensemble est l'ensemble [tex]\boxed{[1,27\ ; 2]\cup[4\ ;\ 4,73]}[/tex]
