Bonjour Jpbassi
Construire M tel que BM= 1/3 BC
Figure en pièce jointe.
Démontrer que AM = 2/3AB + 1/3 AC
[tex]\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\\\\=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\\\\=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})\\\\=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\\\\=\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\\\\=\dfrac{3}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}[/tex]
[tex]\\\\=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}[/tex]
D'où
[tex]\boxed{\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}}[/tex]
Construire N tel que AN = 2AB + AC
Voir pièce jointe.
Démontrer que A,M et N sont alignés
On sait que :
[tex]\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{3}(2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})[/tex]
Or
[tex]\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}[/tex]
Donc
[tex]\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AN}[/tex]
On en déduit que les vecteurs [tex]\overrightarrow{AM}\ et\ \overrightarrow{AN}[/tex] sont colinéaires.
Par conséquent,
les points A,M et N sont alignés.
