Bonjour Enttenten
Soit x et y les longueurs des deux côtés de l'angle droit.
Alors l'aire est égale à 20
Donc [tex]\dfrac{x\times y}{2}=20\Longrightarrow x\times y=2\times20\Longrightarrow \boxed{xy=40}[/tex]
Par Pythagore, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à x² + y²
D'où : [tex]longueur\ de\ l'hypot\acute{e}nuse=\sqrt{x^2+y^2}[/tex]
Le périmètre du triangle vaut 12.
Donc :
[tex]x+y+\sqrt{x^2+y^2}=12\\\\\sqrt{x^2+y^2}=12-x-y\\\\Condition:12-x-y\ge0\Longrightarrow x+y\le12\\\\(\sqrt{x^2+y^2})^2=(12-x-y)^2\\\\x^2+y^2=12^2+x^2+y^2-24x-24y+2xy\\\\0=144-24x-24y+2xy\\\\Or\ xy=40\\\\Donc\ 0=144-24x-24y+2\times40\\\\0=144-24x-24y+80\\\\0=-24x-24y+224\\\\24x+24y=224\\\\24(x+y)=224[/tex]
[tex]x+y=\dfrac{224}{24}=\dfrac{8\times28}{8\times3}\\\\\boxed{x+y=\dfrac{28}{3}}[/tex]
Nous avons donc le système :
[tex]\left\{\begin{matrix}x+y=\dfrac{28}{3}\\\\xy=40\end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}y=\dfrac{28}{3}-x\\\\xy=40\end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}y=\dfrac{28}{3}-x\\\\x(\dfrac{28}{3}-x)=40\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}y=\dfrac{28}{3}-x\\\\\dfrac{28}{3}x-x^2=40\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=\dfrac{28}{3}-x\\\\\dfrac{28x}{3}-\dfrac{3x^2}{3}=\dfrac{120}{3}\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=\dfrac{28}{3}-x\\\\28x-3x^2=120\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=\dfrac{28}{3}-x\\\\3x^2-28x+120=0\end{matrix}\right.[/tex]
Résolvons l'équation 3x² - 28x + 120 = 0
[tex]\Delta=(-28)^2-4\times3\times120=784-1440=-656\ \textless \ 0[/tex]
L'équation 3x² - 28x + 120 = 0 n'admet donc pas de racine puisque son discriminant est négatif.
Par conséquent, un tel triangle rectangle n'existe pas.
