Bonjour!
Etape 0 : longueur du côté du carré c₀ = a = 80 cm
Etape 1 : longueur du côté du carré c₁
On regarde le triangle rectangle isocèle, il a deux côtés de même longueur c₁, et l’hypoténuse de longueur c₀ = a. D'après Pythagore : 2c₁² = a²
donc c₁² = a²/2 et donc c₁=a/√2 = a/(√2)¹
Etape 2 : longueur du côté du carré c₂
De même, on va trouver 2c₂² = c₁² donc 2c₂² = a²/2 donc c₂² = a²/4
et c₂ = a/2 = a/(√2)²
Etape 3 : longueur du côté du carré c₃. On procède de la même façon et on va trouver c₃ = a/(√2)³ (merci Caylus, je ne refais pas les calculs)
Et ainsi de suite
A l'étape 6 : c₆ = a/(√2)⁶
Tu arranges un peu les résultats, tu remplaces a par sa valeur.
2) le dessin
3) en hauteur, l'arbre monte de la façon suivante :
côté du carré 0 (c₀ = a) puis
diagonale du carré 1 ( √(2c₁²) = c₁√2 =a√2/√2 = a) puis
côté du carré 2 (c₂ = a/2) puis
diagonale du carré 3 (=c₂ = a/2) etc
donc on additionne les côtés des carrés de numéro pair avec les diagonales des carrés de numéro impair :
étapes 0 et 1 → hauteur 2a
étapes 2 et 3 →hauteur 2a/2 = a
étapes 4 et 5 →hauteur a/2
étape 6 → hauteur a/8 (je le sais car on veut 290 cm et a=90cm, 290/80=3,625a = 2a+a+a/2+a/8, tu peux vérifier en faisant tous les calculs)
On sait donc que l'arbre aura la bonne hauteur au bout de 6 étapes.
On veut savoir si 6 m² = 60 000 cm² de peinture seront suffisants?
Quelle est la surface recouverte par l'arbre au bout de 6 étapes?
A l'étape 0 : 1 carré de c₀² = a² cm² = 6400 cm² = de peinture.
A l'étape 1 : 2 carrés de c₁² = 2 a²/2=a² cm² = 6400 cm² de peinture
A l'étape 2 : 2x2 carrés de c₂² = 4 a²/4=a² cm² = 6400 cm² de peinture
A l'étape 3 : 2x2x2=2³ carrés de c₃² = 8 a²/8=a² cm² = 6400 cm² de peinture
etc
Surface totale : 7a² puisqu'il y a 7 étapes en tout = 7x0,6400 m² = 4,48m² < 6 m², Marie a raison.
