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LOLA2910VIZ
résolu

Bonjour, j'ai un exo de DM sur les suites en Terminale :

On définit la suite (Un) par U0 = 1 et Un+1 = 2Un / 2+3Un

1) Montrer par récurrence que pour tout entier n, Un est strictement supérieur à 0

J'ai mis: U0 = 1 donc l'inégalité est vraie quand n = 0
Soit n supérieur ou égal à 0. On suppose que Un est strict supérieur à 0 et que Un+1 est strict supérieur à 0
Comme Un+1 = 2Un / 2+3Un et que Un strict supérieur à 0, on a Un+1 strict supérieur à 0.

2) Calculer Un+1 - Un, puis montrer que (Un) décroit

3) On pose Vn = 2 / Un. Quelle est la nature de (Vn) ?

4) En déduire (Un), puis Vn en fonction de n.

Répondre :

XXX102VIZ
Bonjour !

1. Il y a une erreur de raisonnement dans l'hérédité. Tu ne peux pas supposer que un+1 est positif pour dire ensuite que un+1 est positif, parce que tu n'as rien démontré...

Par contre tu peux dire que tu as 2un > 0 et 2+3un > 0. Et pour le coup on a bien un > 0 par hypothèse de récurrence. ;)

2. Tu trouves :
[tex]\forall n \in \mathbb N, u_{n+1}-u_n = -\frac{2u_n+6u_n^2}{2+3u_n}[/tex]
Conclusion ?

3. Il faut étudier vn+1 en fonction de vn. En développant, on trouve
[tex]\forall n \in \mahbb N, v_{n+1} = \frac{2}{u_n}+3[/tex]
Conclusion ?

4. Normalement, tu sais faire maintenant.

Si tu as des questions, n'hésite pas ! =)
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