Bonjour
Wendy14
1) Calculs de u1, v1, u2 et v2 :
[tex]\left\{\begin{matrix}u_1=\dfrac{1}{2}u_0+1=\dfrac{1}{2}\times1+1=\dfrac{3}{2}\Longrightarrow\boxed{u_1=\dfrac{3}{2}}\\\\v_1=\dfrac{1}{2}u_0+\dfrac{1}{2}v_0+2=\dfrac{1}{2}\times1+\dfrac{1}{2}\times1+2=3\Longrightarrow\boxed{v_1=3}\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}u_2=\dfrac{1}{2}u_1+1=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{7}{4}\Longrightarrow\boxed{u_2=\dfrac{7}{4}=1,75}\\\\v_2=\dfrac{1}{2}u_1+\dfrac{1}{2}v_1+2=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}\times3+2=\dfrac{17}{4}\Longrightarrow\boxed{v_2=\dfrac{17}{4}=4,25}\end{matrix}\right.[/tex]
2) Algorithme.
VARIABLES
n EST_DU_TYPE NOMBRE
u EST_DU_TYPE NOMBRE
v EST_DU_TYPE NOMBRE
k EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
u PREND_LA_VALEUR 1
v PREND_LA_VALEUR 1
LIRE n
POUR k ALLANT_DE 1 A n
DEBUT_POUR
v PREND_LA_VALEUR 0.5*u+0.5*v+2
u PREND_LA_VALEUR 0.5*u+1
FIN_POUR
AFFICHER u
AFFICHER v
FIN_ALGORITHME
[tex]3)a)\ w_{n+1}=u_{n+1}-2\\\\w_{n+1}=(\dfrac{1}{2}u_{n}+1)-2\\\\w_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_{n}-1\\\\w_{n+1}=\dfrac{1}{2}(u_{n}-2)\\\\w_{n+1}=\dfrac{1}{2}\times w_n[/tex]
D'où, (wn) est une suite géométrique de raisin 1/2 et dont le premier terme est w0=u0-2=1-2=-1.
Par conséquent,
[tex]w_n=-1\times(\dfrac{1}{2})^n\Longrightarrow \boxed{w_n=-(\dfrac{1}{2})^n}[/tex]
[tex]b)\ w_n=u_n-2\\u_n=w_n+2\\\\u_n=-(\dfrac{1}{2})^n+2\\\\\boxed{u_n=2-(\dfrac{1}{2})^n}[/tex]
c) Puisque 0<1/2<1,
[tex]\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\lim\limits_{n\to+\infty}(2-(\dfrac{1}{2})^n)=2-0=2[/tex]
La suite (un) converge donc vers 2.
[tex]4a)\ S_n=\sum\limits_{k=0}^nu_k\\\\S_n=\sum\limits_{k=0}^n[2-(\dfrac{1}{2})^k]\\\\S_n=2(n+1)-\sum\limits_{k=0}^n(\dfrac{1}{2})^k\\\\Or\ \sum\limits_{k=0}^n(\dfrac{1}{2})^k=1\times\dfrac{1-(\dfrac{1}{2})^{n+1}}{1-\dfrac{1}{2}}=2[1-(\dfrac{1}{2})^{n+1}][/tex]
D'où,
[tex]S_n=2(n+1)-2[1-(\dfrac{1}{2})^{n+1}]\\\\S_n=2(n+1)-2[1-(\dfrac{1}{2})^{n+1}]\\\\S_n=2n+2-2+2(\dfrac{1}{2})^{n+1}\\\\\boxed{S_n=2n+2(\dfrac{1}{2})^{n+1}}\\\\\\b)\lim\limits_{n\to+\infty}S_n=\lim\limits_{n\to+\infty}2n+\lim\limits_{n\to+\infty}2(\dfrac{1}{2})^{n+1}=+\infty+0=+\infty \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}S_n=+\infty}[/tex]
5) a) Initialisation : n = 0
[tex]D'une\ part:v_0=1\\\\D'autre\ part:v_0=6-\dfrac{0+5}{2^0}=6-\dfrac{5}{1}=6-5=1[/tex]
Donc l'initialisation est vraie
Hérédité :
Supposons que pour une valeur fixée de n, nous ayons [tex]v_n=6-\dfrac{n+5}{2^n}[/tex]
Montrons que nous avons alors : [tex]v_{n+1}=6-\dfrac{n+1+5}{2^{n+1}}[/tex],
soit [tex]v_{n+1}=6-\dfrac{n+6}{2^{n+1}}[/tex]
En effet,
[tex]v_{n+1}=\dfrac{1}{2}v_n+\dfrac{1}{2}u_n+2\\\\\\v_{n+1}=\dfrac{1}{2}[2-(\dfrac{1}{2})^n]+\dfrac{1}{2}[6-\dfrac{n+5}{2^n}]+2\\\\\\v_{n+1}=1-(\dfrac{1}{2})^{n+1}+3-\dfrac{n+5}{2^{n+1}}+2\\\\\\v_{n+1}=6-\dfrac{1}{2^{n+1}}-\dfrac{n+5}{2^{n+1}}\\\\\\v_{n+1}=6-\dfrac{n+6}{2^{n+1}}[/tex]
L'hérédité est donc vraie.
Par conséquent, la propriété [tex]v_n=6-\dfrac{n+5}{2^n}[/tex] est vraie pour tout entier naturel n/
b) Initialisation : n = 4
[tex]2^4=16\ et\ 4^2=16\Longrightarrow\boxed{2^n\ge n^2\ pour\ n=4}[/tex]
Hérédité :
Supposons que la propriété [tex]2^n\ge n^2[/tex] soit vraie pour un n fixé, supérieur ou égal à 4
Montrons alors que [tex]2^{n+1}\ge (n+1)^2[/tex]
En effet, cela reviendrait à démontrer que [tex]2^{n+1}=2\times2^n\ge2\times n^2\ge(n+1)^2\Longrightarrow\boxed{2^{n+1}\ge (n+1)^2}[/tex]
L'hérédité est donc vraie.
Par conséquent, la propriété [tex]2^n\ge n^2[/tex] est vraie pour tout entier supérieur ou égal à 4.
c) D'une part [tex]v_n=6-\dfrac{n+5}{2^n}\Longrightarrow \boxed{v_n\le6}[/tex]
D'autre part, pour n ≥ 4,
[tex]2^n\ge n^2\Longrightarrow 6-\dfrac{n+5}{2^n}\ge6-\dfrac{n+5}{n^2}\\\\\Longrightarrow \boxed{v_n\ge6-\dfrac{n+5}{n^2}}[/tex]
D'où
[tex]6-\dfrac{n+5}{n^2}\le v_n\le6\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}[}6-\dfrac{n+5}{n^2}]\le \lim\limits_{n\to+\infty}v_n\le6\\\\6\le \lim\limits_{n\to+\infty}v_n\le6\\\\\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=6}[/tex]
