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résolu

Bonjour, il me reste un exercice pour mon dm et je n'arrive pas à le finir.

Soit m un réel et (dm) la droite d'équatoion m²x-(m-1)y-1=0

1) Pour quelles valeurs de m la droite passe-t-elle par le point A (-1;1) ? donner les équations de droites obtenues avec ces valeurs et tracer ces droites das un repère du plan (je peux m'occuper de tracer les droites)

2) Pour quelle valeur de m le vecteur u (1;4) est-il vecteur directeur de cette droite ?

3) La droite peut-elle être parallèle à la droite D d'équation 5x-3y+4 = 0 ?

Merci beaucoup pour votre aide !

Répondre :

XXX102VIZ
Bonjour !

1. C'est une équation en m, pour l'obtenir tu injectes les valeurs de x et de y.
Pour que la droite passe par le point A on doit avoir
m²*1 + (m-1)*(-1) - 1 = 0 puis, m²-m = 0. Ensuite tu sais faire.

2. Avec ce que tu sais, un vecteur directeur de ta droite est le vecteur v(m-1, m²). Il faut juste que v et u soient colinéaires, soit
4(m-1)-m² = 0. Oh, une équation du second degré !

3. Idem, pour cela il faut extraire un vecteur directeur de la droite D (tu sais faire) puis voir s'il peut être colinéaire au vecteur v (m-1,m²).

Si tu as des questions, n'hésite pas ! =)
TOMSVTVIZ
Bonjour,

1/ m²x - (m-1)y - 1 = 0
On dit que la droite passe par A(-1;1). On peut donc remplacer x et y par les coordonnées de A
m²*(-1) - (m-1)1 - 1 = 0
-m² - m + 1 - 1 = 0
-m² - m = 0
delta = b² - 4ac = 1 - 0.
1 plus grand que 0. Donc deux valeurs.

x1 = (-b-√Δ)/(2a) = (1-1)/(-2) = 0
x2 = (-b+√Δ)/(2a) = (1+1)/(-2) = -1.

La droite passe par A(-1;1) pour m = 0 ou -1.
On a donc deux équations de droites :
y - 1 = 0
x + 1 = 0

Voir photo joint pour les droites.

2/ On veut que u(1;4) soit colinéaires avec la droite.
Pour ça, on veut trouver le vecteur directeur de la droite.
v (-b ; a)
b = -(m - 1)
-b = (m - 1)
a = m²
Donc v((m-1);m²)

Pour que le vecteur soit colinéaires, il faut que ab' - a'b = 0
a = 1, b' = m²
a' = (m-1), b = 4
Donc m² - ((m-1)4) = 0
m² - (4m - 4) = 0
m² - 4m + 4 = 0

Δ = b² - 4ac = 16 - 16 = 0
Donc 1 solution : x0 (-b/2a)
x0 = (4/2) = 2.

On vérifie.
m² - ((m-1)4) = 0
4 - ((2-1)4) = 0
4 - 4 = 0

Donc pour m = 2, le vecteur u(1;4) est vecteur directeur de la droite.

3/ On a m²x - (m-1)y - 1 = 0 et D 5x - 3y + 4 = 0.
Pour que deux droites soient parallèles, il faut que ab' - a'b = 0
a = m² ; a' = 5 ; b = (m-1) ; b' = -3
Donc -3m² - 5(m-1) = 0
-3m² - 5m + 1 = 0
Δ = b² - 4ac = 25 + 12 = 37

x1 = (-b-√Δ)/(2a) = (5-√37)/(-6)
x2 = (-b+√Λ)/(2a) = (5+√37)/(-6)

Donc oui, elle peut être parallèle si m a pour valeur x1 ou x2


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