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Bonjour,
Je développe les deux membres de l'inégalité.
A = (ac+bd)² = (ac)² + 2 (ac)(bd)+(bd)²
= a²c²+2abcd +b²d²
B = (a²+b²)(c²+d²)=a²c²+a²d²+b²c²+b²d²
Je compare : A et B
a²c²+2abcd +b²d² et a²c²+a²d²+b²c²+b²d²
J'élimine les termes qui se trouvent dans les deux termes,
donc je compare 2abcd (qui reste de A) et a²d²+b²c² (qui reste de B)
Je remarque que a²d²+b²c² = (ad)² + (bc)² pour ce qui reste de B
et 2abcd = 2(ad)(bc) pour ce qui reste de A
donc A < B si et seulement si 2(ad)(bc) < (ad)² + (bc)²
équivalent à (ad)² + (bc)² - 2(ad)(bc) > 0
or (ad)² + (bc)² - 2(ad)(bc) = [(ad) - (bc)]²
donc comme c'est un carré, c'est forcément positif OU NUL
Par conséquent, je trouve ainsi que [(ad) - (bc)]² ≥ 0
On a montré que (ac+bd)² ≤ (a²+b²)(c²+d²)
Je développe les deux membres de l'inégalité.
A = (ac+bd)² = (ac)² + 2 (ac)(bd)+(bd)²
= a²c²+2abcd +b²d²
B = (a²+b²)(c²+d²)=a²c²+a²d²+b²c²+b²d²
Je compare : A et B
a²c²+2abcd +b²d² et a²c²+a²d²+b²c²+b²d²
J'élimine les termes qui se trouvent dans les deux termes,
donc je compare 2abcd (qui reste de A) et a²d²+b²c² (qui reste de B)
Je remarque que a²d²+b²c² = (ad)² + (bc)² pour ce qui reste de B
et 2abcd = 2(ad)(bc) pour ce qui reste de A
donc A < B si et seulement si 2(ad)(bc) < (ad)² + (bc)²
équivalent à (ad)² + (bc)² - 2(ad)(bc) > 0
or (ad)² + (bc)² - 2(ad)(bc) = [(ad) - (bc)]²
donc comme c'est un carré, c'est forcément positif OU NUL
Par conséquent, je trouve ainsi que [(ad) - (bc)]² ≥ 0
On a montré que (ac+bd)² ≤ (a²+b²)(c²+d²)
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