Réponse : Bonsoir,
Exercice 1
Pour [tex]u(x)=(x-1)\sqrt{x^{2}+x}[/tex].
Pour étudier la dérivabilité de [tex]u[/tex] en 1, il faut calculer le taux de variation:
[tex]\frac{u(1+h)-u(1)}{h}[/tex] et prendre la limite de ce taux quand [tex]h \mapsto 0[/tex], ce qui donnera [tex]u'(1)[/tex].
On trouve que ce rapport est égal à [tex]\sqrt{h^{2}+3h+2}[/tex], et quand [tex]h \mapsto 0[/tex], ce taux tend vers [tex]\sqrt{2}[/tex].
Donc [tex]u'(1)=\sqrt{2}[/tex], [tex]u[/tex] est donc dérivable en 1, et [tex]u'(1)=\sqrt{2}[/tex].
Pour [tex]w(x)=\mid x^{2}-5x+4 \mid[/tex]. Quand [tex]x=1, x^{2}-5x+4=0[/tex], or la fonction valeur absolue [tex]\mid x \mid[/tex], n'est pas dérivable en 0. Donc [tex]w[/tex] n'est pas dérivable en 0.
Exercice 2
Il faut calculer les dérivées des fonctions usuelles, essayez de regarder votre cours.
Exercice 3
1) La fonction racine carrée est définie sur [tex]\mathbb{R}^{+}[/tex], donc il faut que [tex]2x-1 \geq 0[/tex], d'où [tex]x \geq \frac{1}{2}[/tex].
2) Il faut calculer : [tex]\frac{f(1+h)-f(1)}{h}[/tex].
On trouve [tex]\frac{\sqrt{2h+1} -1}{h}[/tex].
Donc [tex]\frac{\sqrt{2h+1} -1}{h} =\frac{(\sqrt{2h+1} -1)(\sqrt{2h+1}+1) }{h(\sqrt{2h+1}+1) } \\= \frac{(\sqrt{2h+1} )^{2}-1^{2}}{h(\sqrt{2h+1}+1) } \\=\frac{2h+1-1}{h(\sqrt{2h+1} +1} \\=\frac{2}{\sqrt{2h+1}+1 }[/tex]
Quand [tex]h \mapsto 0[/tex], [tex]\frac{2}{\sqrt{2h+1} +1} \rightarrow \frac{2}{2} =1[/tex].
D'où [tex]f'(1)=1[/tex]
3) L'équation de la tangente en 1 à Cf est donnée par [tex]y=f'(1)(x-1)+f(1)[/tex].
4) Il faut calculer [tex]\frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/tex], c'est la même méthode de calcul que pour la question 2), et on trouve:
[tex]\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{1}{\sqrt{2x-1} }[/tex], donc [tex]f(x)=\frac{1}{\sqrt{2x-1} }[/tex], donc f est dérivable si [tex]2x-1 > 0[/tex], donc pour [tex]x > \frac{1}{2}[/tex].
5) La tangente à Cf est parallèle à [tex](d)[/tex], si [tex]f'(x)=\frac{1}{2}[/tex], il faut donc résoudre cette équation pour déterminer le ou les abscisses du ou des points où la tangente à Cf est parallèle à [tex](d)[/tex].