On va commencer par poser x la longueur du côté horizontale du rectangle et y la longueur verticale.
On a donc l'aire du rectangle qui vaut A=xy
On va essayer d'exprimer y en fonction de x (et de constantes) pour avoir une expression de l'aire qui ne dépend que de x, après ce sera facile.
Tout d'abord la figure a un axe de symétrie tel que MBQ et NPC ont les mêmes dimensions.
On peut commencer par utiliser le théorème de Thalès dans le triangle car (MN)//(BC)pour voir ce que ça peut nous apporter.
On obtient [tex] \frac{AM}{a} = \frac{AN}{a} = \frac{x}{a} [/tex]
on en déduit que x = AM = AN
Ensuite avec un petit théorème de Pythagore dans le triangle MBQ :
y² = BM² - BQ² (1)
Or BM = AB - AM = a - x
et BC = a = BQ+ PC + QP = 2*BQ+x
(car BQ = PC)
d'où BQ = (1/2)(a-x)
et finalement on remplace dans l'expression (1) et on a :
y² = (a-x)² - (1/4)(a-x)² = (3/4)(a-x)²
donc : [tex]y= \frac{ \sqrt{3} }{2} (a-x)[/tex]
on remplace dans l'expression de l'aire du triangle :
[tex] A(x)= \frac{ \sqrt{3}}{2} (ax- x^{2} ) [/tex]
On cherche le maximum de cette fonction.
Il faut la dériver:
[tex] A'(x)= \frac{ \sqrt{3}}{2}a-\sqrt{3} x [/tex]
Je te conseille de faire un tableau de variation pour t'aider. Tu verras que la dérivée s'annule en x = a/2 et que pour x<a/2 la dérivée est st positive donc A(x) est strictement croissante, et pour x>a/2 la dérivée est st négative donc A(x) est st décroissante.
Donc A(x) est maximale en x=a/2
et donc pour y =(√3/4)a
Après tu en déduis où il faut placer les points M,N,P,Q
:)
