1) -x² - 2x +3 = 3 -(x² +2x) = 3- ( (x+1)² -1 ) = 4 - (x+1)²
x² -3x -10 = (x - 3/2)² - 9/4 -10 = (x -3/2)² - 49/4
pour qu'un quotient soit positif il faut que le numérateur et le dénominateur soient de même signes donc ici que
4 - (x+1)² et (x -3/2)² - 49/4 soient positifs ou négatifs simultanément
4 - (x+1)² positif entraîne (x+1)² ≤ 4
-2 ≤x+1≤2
ou
-3≤x≤ 1
(x -3/2)² - 49/4 positif entraine
(x -3/2)² ≥ 49/4
x -3/2 ≥7/2 ou x -3/2 ≤-7/2
soit x ≥5 ou x ≤ -2
il faut donc simultanément
-3≤x≤ 1 et ( x ≥5 ou x ≤ -2 ) soit -3≤x≤ -2
4 - (x+1)² négatif entraîne x ≥1 ou x ≤ -3
(x -3/2)² - 49/4 négatif entraine -2≤x≤ -5
il faut donc simultanément
-2≤x≤ 5 et ( x ≥1 ou x ≤ -3 ) soit 1≤x≤ 5
réponse -3≤x≤ -2 ou 1≤x≤ 5
2) -3(x-2)(x²+2x-15) ≥ 0 revient à faire (x-2)(x²+2x-15) ≤ 0
x² +2x -15 = (x+1)² -1 -15 =(x +1)² -16
ici il faut simultanément
x -2 ≤ 0 et (x +1)² -16 ≥ 0
ou
x -2 ≥ 0 et (x +1)² -16 ≤ 0
comme (x +1)² -16 ≤ 0 entraine
-4≤x+1≤4 ou -5 ≤x ≤3
x -2 ≥ 0 et (x +1)² -16 ≤ 0 équivaut à
x -2 ≥ 0 et - 5 ≤x ≤3 2 ≤x ≤3 donc
l'autre cas
x -2 ≤ 0 et (x +1)² -16 ≥ 0 est toujours vérifié pour x ≤ -5
puisqu'alors x -2 ≤ 0
solution
x ≤ -5 ou 2 ≤x ≤3
