par récurrence
n=0 2x7^(0+1) + 3^(0+2 )= 14+9= 23
divisible par 23
si 2x7^(2n+1) + 3^(n+2) est divisible par 23 alors
2x7^(2n+1) + 3^(n+2) =23k
or en remplaçant n par n +1
2x7^(2n+2+1) + 3^(n+1+2) = 2*7²*7^(2n+1) + 3^(n+2)
comme
2x7^(2n+1) + 3^(n+2) =23k alors
2x7^(2n+1) = - 3^(n+2) +23k et
2*7²*7^(2n+1) + 3^(n+2) = 7²( - 3^(n+2) +23k) + 3^(n+2) )
= - 49 * 3 ^(n+2) + 7*23k + 3^(n+2)
= - 46 * 3^(n+2) + 7*23k
qui est divisible par 23
conclusion
2x7^(2n+1) + 3^(n+2) est divisible par 23 pour tout n
