Bonjour Carolinaaaaa
Partie A
1) Graphique en pièce jointe.
[tex]2)\ \overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BF}\\\\\overrightarrow{EF}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\\\\\overrightarrow{EF}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})\\\\\overrightarrow{EF}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\\\\\overrightarrow{EF}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}[/tex]
[tex]\\\\\overrightarrow{EF}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{2}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\\\\\boxed{\overrightarrow{EF}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}}[/tex]
[tex]\\\\\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}\\\\\overrightarrow{DF}=-\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+(\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC})\\\\\overrightarrow{DF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\\\\\boxed{\overrightarrow{DF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}[/tex]
[tex]3)\ \overrightarrow{DF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\\\\\overrightarrow{DF}=2(\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC})\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{DF}=2\overrightarrow{EF}}[/tex]
D'où les vecteurs [tex]\overrightarrow{DF}[/tex] et [tex]\overrightarrow{EF}[/tex] sont colinéaires.
Par conséquent, les points D, E et F sont alignés.
Partie B
1) Coordonnées :
A(0;0)
B(1;0)
C(0;1)
D(0;-1/2)
E(1/4;0)
F(1/2;1/2)
[tex]2)\ \overrightarrow{EF}:(x_F-x_E;y_F-y_E)=(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}-0)\\\\\boxed{\overrightarrow{EF}:(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2})}\\\\\\\overrightarrow{DF}:(x_F-x_D;y_F-y_D)=(\dfrac{1}{2}-0;\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2})\\\\\boxed{\overrightarrow{DF}:(\dfrac{1}{2};1)}[/tex]
Calculons le déterminant des vecteurs [tex]\overrightarrow{DF}[/tex] et [tex]\overrightarrow{EF}[/tex]
[tex]\dfrac{1}{4}\times1-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}=0[/tex]
Puisque ce déterminant est égal à 0, les vecteurs [tex]\overrightarrow{DF}[/tex] et [tex]\overrightarrow{EF}[/tex] sont colinéaires.
Par conséquent, les points D, E et F sont alignés.
