Soient x1 et x2 deux réels. On pose S=x1+x2 et P=x1*x2.
1.a. la forme factorisée de tous les polynômes du second degré admettant x1 et x2 comme racines. est a(x-x1)(x-x2)
b. la forme développée d'un tel polynôme en fonction de S et P.
a(x² -xx1-xx2+x1x2)= ax² - ax(x1+x2) + ax1x2 = ax²-aSx + aP
2. ax2-aSx+aP. =
ax² - aSx + aP= a(x² - Sx + P) = a(x² - xx1 - xx2 +x1x2)
=a(x²-xx1) + a(-xx2+x1x2) = ax(x-x1) -ax2(x -x1) =a(x-x1)(x-x2)
donc si a un réel non nul quelconque, montrer que x1 et x2 sont les racines de ax2-aSx+aP
3. Application
a. Déterminer deux réels dont la somme vaut 60 et le produit 851.
x² -60x + 851 = 0
(x-30)² -900 + 851 = 0
(x-30)² =900-851 = 49 = 7² x-30 = 7 ou -7
x=37 ou 23 les nombres sont 37 et 23
b. Déterminer la somme et le produit des deux racines de 2x2-7x+6 sans calculer ses racines.
a=2 -aS= - 7 aP =6 donc S= 3,5 P=3
c. Donner la forme développée d'un trinôme du second degré admettant deux racines négatives. par exemple
(x+1)(x+2) forme développée x² +3x + 2
d. Déterminer la longueur et la largeur d'un rectangle de périmètre 60 cm et d'aire 221 cm2
ce qui revient à trouver deux nombres de somme 60/2 = 30 et de produit 221
x² - 30x + 221=0
(x-15)² -225 + 221 = 0
(x-15)² = 4 x-15 = 2 ou -2
x=17 ou 13
longueur 17 largeur 13
