Bonjour Zazas
Soit x la longueur du côté du carré ABCD.
Le triangle CGF est rectangle en G.
Il peut donc être inscrit dans un cercle dont l'hypoténuse [CF] est un
diamètre de longueur 2a.
I étant le milieu de [CF], on en déduit que I est le centre de ce cercle.
D'où, IC = IG = rayon = a
Le triangle CGF est isocèle en G.
I est le milieu de [CF].
Donc la médiane [GI] est également hauteur du triangle CGF issue de G.
On en déduit que l'angle CIG est un angle droit et, par conséquent, que le
triangle DIG est rectangle en I.
Par Pythagore dans le triangle DIG rectangle en I,
DG² = DI² + IG²
DG² = (DC + CI)² + IG²
DG² = (x + a)² + a²
DG² = x² + 2ax + a² + a²
DG² = x² + 2ax + 2a².
Soit J le milieu de [BE].
Puisque les droites (DF) et (AE) sont parallèles et que (GI) est perpendiculaire à (DF), on en déduit que (GI) est perpendiculaire à (AE), soit (GJ) est perpendiculaire à (AE).
D’où le triangle EJG est rectangle en J
Par Pythagore dans le triangle EJG rectangle en J
EG² = EJ² + JG²
EG² = EJ² + (JI + IG)²
EG² = a² + (x + a)²
EG² = a² + x² + 2ax + a²
EG² = x² + 2ax + 2a²
D’où , DG² = EG² = x² + 2ax + a² et donc DG = EG.
Par conséquent, le triangle EGD est isocèle en G.
Par Pythagore dans le triangle DAE rectangle en A,
DE² = DA² + AE²
DE² = DA² + (AB + BE)²
DE² = x² + (x + 2a)²
DE² = x² + x² + 4ax + 4a²
DE² = 2x² + 4ax + 4a²
Or DG² + EG² = (x² + 2ax + a²) + (x² + 2ax + a²)
DG² + EG² = 2x² + 4ax + 2a²
DG² + EG² = DE²
Par la réciproque du théorème de Pythagore dans le triangle EGD, ce triangle EGD est rectangle et [DE] est l’hypoténuse.
D’où le triangle EGD est rectangle en G.
En conclusion, le triangle EGD est rectangle et isocèle en G.