Bonjour
0Marine
[tex]u_n=\dfrac{1}{1^3}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{n^3}\ \ (n\ge1)[/tex]
1) Il est clair que 0 est un minorant pour cette suite.
2) Croissance de la suite (Un)
[tex]u_{n+1}-u_n=[\dfrac{1}{1^3}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{n^3}+\dfrac{1}{(n+1)^3}]-[\dfrac{1}{1^3}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{n^3}]\\\\\\=\dfrac{1}{1^3}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{n^3}+\dfrac{1}{(n+1)^3}-\dfrac{1}{1^3}-\dfrac{1}{2^3}-...-\dfrac{1}{n^3}\\\\\\=\dfrac{1}{1^3}-\dfrac{1}{1^3}+\dfrac{1}{2^3}-\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{n^3}-\dfrac{1}{n^3}+\dfrac{1}{(n+1)^3}\\\\\\=\dfrac{1}{(n+1)^3}\ \textgreater \ 0\\\\\\\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}-u_n\ \textgreater \ 0}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}\ \textgreater \ u_n}[/tex]
Par conséquent, la suite (Un) est croissante.
3) Montrons que pour tout entier naturel n ≥ 1, on a : [tex]u_n\le2-\dfrac{1}{n}[/tex]
Soit P(n) la relation : [tex]u_n\le2-\dfrac{1}{n}[/tex]
a) Initialisation.
Si n = 1, alors
[tex]u_1=\dfrac{1}{1^3}=1=2-\dfrac{1}{1}\Longrightarrow\boxed{u_1=2-\dfrac{1}{1}}[/tex]
Donc P(1) est vraie
b) Hérédité
Si P(n) est vraie pour un entier naturel n fixé, alors montrons que P(n+1) est vraie.
Supposons donc que [tex]u_{n}\le2-\dfrac{1}{n}[/tex]
Montrons que [tex]u_{n+1}\le2-\dfrac{1}{n+1}[/tex]
En effet :
[tex]u_{n+1}=\dfrac{1}{1^3}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{n^3}+\dfrac{1}{(n+1)^3}\\\\u_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{(n+1)^3}\\\\u_{n+1}\le2-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{(n+1)^3}\ \ \ car\ \ P(n)\ est\ vraie[/tex]
Or [tex]-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{(n+1)^3}\le-\dfrac{1}{n+1}[/tex]
En effet,
[tex]-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{(n+1)^3}\le-\dfrac{1}{n+1}\\\\\\\Longleftrightarrow\dfrac{1}{(n+1)^3}\le\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\\\\\\\Longleftrightarrow\dfrac{1}{(n+1)^3}\le\dfrac{(n+1)-n}{n(n+1)}\\\\\\\Longleftrightarrow\dfrac{1}{(n+1)^3}\le\dfrac{1}{n(n+1)}\\\\\\\Longleftrightarrow(n+1)^3}\ge n(n+1)\\\\\Longleftrightarrow(n+1)^2}\ge n\\\\\Longleftrightarrow n^2+2n+1\ge n\\\\\Longleftrightarrow n^2+n+1\ge0\ qui\ est\ vrai\ pour\ tout\ n\in\mathbb{N}[/tex]
Donc
[tex]u_{n+1}\le2-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{(n+1)^3}\le2-\dfrac{1}{n+1}\\\\\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}\le2-\dfrac{1}{n+1}}[/tex]
Par conséquent, l'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, on en déduit donc que pour tout entier naturel n ≥ 1, on a : [tex]u_n\le2-\dfrac{1}{n}[/tex]
[tex]4)\ u_n\le2-\dfrac{1}{n}\le2\Longrightarrow\boxed{u_n\le2}[/tex]
La suite (Un) étant croissante et majorée par 2, cette suite (Un) est convergente.
[tex]5)\ 0\le u_n\le2-\dfrac{1}{n}\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}0\le\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\le\lim\limits_{n\to+\infty}[2-\dfrac{1}{n}]\\\\0\le\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\le2-0\\\\\\\Longrightarrow\boxed{0\le\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\le2}[/tex]
