Bonjour
Yannis27
Pour avoir [tex](2m-3)x^{2} -2mx-1\ \textless \ 0[/tex] pour tout réel x, il faut que le discriminant Δ soit négatif et que le coefficient de x² soit négatif ,soit Δ < 0 et (2m-3) < 0
Donc
[tex]1)\ \boxed{\Delta\ \textless \ 0}\\\\(-2m)^2-4\times(2m-3)\times(-1)\ \textless \ 0\\\\4m^2+4\times(2m-3)\ \textless \ 0\\\\4m^2+8m-12\ \textless \ 0\\\\4(m^2+2m-3)\ \textless \ 0\\\\m^2+2m-3\ \textless \ 0\\\\Tableau\ de\ signes\\\\m^2+2m-3=0\\\\\Delta_m=2^2-4\times1\times(-3)=4+12=16\\\\m_1=\dfrac{-2-\sqrt{16}}{2}=\dfrac{-2-4}{2}=\dfrac{-6}{2}=-3\\\\m_2=\dfrac{-2+\sqrt{16}}{2}=\dfrac{-2+4}{2}=\dfrac{2}{2}=1\\\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|} m&-\infty&&-3&&1&&+\infty\\m^2+2m-3&&+&0&-&0&+&\\ \end{array}[/tex]
[tex]\boxed{m^2+2m-3\ \textless \ 0\Longleftrightarrow -3\ \textless \ m\ \textless \ 1}[/tex]
[tex]2)\ \boxed{2m-3\ \textless \ 0}\\\\2m\ \textless \ 3\\\\\boxed{m\ \textless \ \dfrac{3}{2}}[/tex]
Par conséquent, les deux conditions sur m se résument en une seule condition :
[tex]\boxed{-3\ \textless \ m\ \textless \ 1},\ soit\ \boxed{m\in]-3\ ;\ 1[}[/tex]
