Bonjour,
Si f est périodique, alors :
il existe T tel que f(x+T) = f(x)
soit sin(π(x+T)) - π(x+T)/V(2) = sin(πx) -πx/V(2)
soit sin(π(x+T)) - sin(πx) = πT/V(2)
Cette équation doit être vérifiée pour tout x.
x=0 ==> sin(πT) = πT/V(2)
x=1 ==> sin(π(T+1)) = πT/V(2)
donc sin(πT) = sin(π(T+1))
==> T = T+1 + 2kπ ou T = (π - (T+1)) + 2kπ
==> 2kπ + 1 = 0 ==> pas de période
ou 2T = π - 1 + 2kπ
==> T = (π(1+2k) - 1)/2 dépend de k donc pas de période
f(-x) = sin(-πx) + πx/V(2) = - f(x) ==> f impaire
f'(x) = πcos(πx) - π/V(2)
S'annule pour cos(πx) = 1/V(2) = V(2)/2
Soit πx = π/4 + 2kπ
ou πx = -π/4 + 2kπ
==> x = 1/4 + 2k ou x = -1/4 + 2k
Donc sur [0,2], f'(x) = 0 ==>
x = 1/4 (k=0)
ou x = 7/4 (k=-1)
x 0 1/4 7/4 2
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) croit décroit croit
f(0) = 0
f(1/4) = ...
Sur [0,4] :
f' s'annule pour 1/4, 7/4, 9/4 (k=1) et 15/4 (k=-2)
Sur [-4,0] f est impaire donc on copie les sens de variations symétriquement par rapport à 0
x -4 -15/4 -9/4 -7/4 -1/4 0 1/4 7/4 9/4 15/4 4
f'(x) + - + - + + - + - +
