Bonjour
Nawelle5
Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de fois que l'on obtient un 6.
La probabilité d'obtenir 5 lors d'un lancement de dé est égale à 1/6.
Les lancers sont indépendants et deux issues sont possibles : obtenir 5 ou ne pas obtenir 5.
La probabilité d'un succès, soit la probabilité d'obtenir 5 lors d'un lancement de dé est égale à 1/6.
X suit une loi binomiale de paramètres n et p=1/6.
L'énoncé se traduit par :
[tex]P(X=5)\ge0,5\\\\C_n^5\times(\dfrac{1}{6})^5\times(\dfrac{5}{6})^{n-5}\ge0,5\\\\\dfrac{n!}{5!(n-5)!}\times\dfrac{1}{6^5}\times(\dfrac{5}{6})^{n-5}\ge0,5\\\\\dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{5!}\times\dfrac{1}{6^5}\ge0,5\times(\dfrac{6}{5})^{n-5}\\\\\dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{120}\times\dfrac{1}{6^5}\ge0,5\times(\dfrac{6}{5})^{n-5}\\\\\dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{6^5}\ge120\times0,5\times(\dfrac{6}{5})^{n-5}\\\\\boxed{\dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{6^5}\ge60\times(\dfrac{6}{5})^{n-5}}[/tex]
Les calculateurs concluent que cette inéquation est impossible.
Nous pouvons le vérifier graphiquement en comparant les fonctions définies par [tex]f(x)=\dfrac{x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{6^5}\ \ et\ \ g(x)=60\times(\dfrac{6}{5})^{x-5}[/tex]
Nous voyons que pour tout x, nous obtenons : f(x) < g(x).
Graphiques en pièce jointe.
Par conséquent, il est impossible d'avoir au moins 50% de chances d'obtenir 5 fois un 6
