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ELMAKHROUBIVIZ
résolu

bonjour a tous,j'ai des questions
la première: la comparaison de 3¹⁴³¹ et 2²⁰¹⁰
2éme question:comparaison de 2 et ( x²+1/x²)
3éme question : si (x<= y) montrer que (x/y+1)<=(x/y)<=(x+1/y+1)
4éme question (x+y)(1/x+1/y)>=4
5éme question: √x +√y>=√(x+y)

Répondre :

SCOLADANVIZ
Bonjour,

1) ln(3^1431) = 1431ln(3) = 1572
ln(2^2010) = 2010ln(2) = 1393

ln est une fonction croissante sur R+.

==> 2^2010 < 3^1431

2) Signe de x^2 + 1/x^2 - 2 ?

x^2 + 1/x¨2 - 2 = 0

<=> x^4 - 2x^2 + 1 = 0

<=> (x^2 - 1)^2 = 0

==> x^1 = 1 ==> x = 1 ou x= -1

Donc :

Si x = 1 ou x = -1 (x^2 + 1/x^2) = 2

Et si x différent de 1 et de -1, (x^2 + 1/x^2) > 2

3) x <= y

x/(y+1) = x/y x y/(y+1)

Si y > -1, y+1 > 0

==> y+1 > y

==> y/(y+1) > 1

==> x/y < x/(y+1)

Si y < -1,    0 > y+1 > y

==> y/(y+1) > 1

==> x/y > x/(y+1)

En résumé, x/(y+1) < x/y SSI y > -1

exp :  x=-5 y=-2 :  on a bien x<y<-1

x/y = -5/-2 = 5/2 et x/(y+1) = -5/-1 = 5 donc x/(y+1) > x/y

Seconde inégalité :

(x+1)/(y+1) = x/(y+1) + 1/(y+1)

Si y > -1, y+1>0 ==> 1/(y+1) > 0 ==> (x+1)/(y+1) > x/(y+1)

Inversement si y < -1

4) (x+y)(1/x + 1/y) = (x+y)(x+y)/xy = (x+y)^2 /xy

Signe de A  = (x+y)^2/xy - 4

A = [(x+y)^2 - 4xy]/xy

= (x-y)^2 / xy

Or  (x-y)^2 >= 0

Donc :

Si xy > 0, alors A>0 ==> (x+y)(1/x + 1/y) >= 4

inversement si xy<0

5) (V(x) + V(y))^2 - (x + y) = 2V(xy) >=0

==> (V(x) + V(y))^2 >= x + y

==> V(x) + V(y) >= V(x+y) car la fonction racine est croissante.
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